Отличная квантовая механика

Упражнение 3.57. Найдите коэффициенты пропорциональности A и B, такие, что наблюдаемые, определенные как X = Ax, P = Bp, обладают следующими свойствами:

• В новых переменных (X, P) траектория в фазовом пространстве представляет собой окружность, поэтому уравнения (3.85) приобретают вид:

X(t) = X(0)cosωt + P(0)sinωt; (3.86a)

P(t) = X(0)sinωt + P(0)cosωt. (3.86b)

• Для соответствующих квантовых операторов

Покажите, что перемасштабированные наблюдаемые не имеют размерности.

Ответ:

Будучи непрерывными наблюдаемыми, перемасштабированные собственные состояния координаты и импульса нормированы в соответствии с

⟨X|X′ ⟩ = δ(X − X′ ); ⟨P|P′ ⟩ = δ(P − P′ ). (3.89)

Как мы уже знаем из разд. 3.2, перемасштабирование непрерывных наблюдаемых помимо наложения условий типа (3.89) приводит к перенормированию собственных состояний этих наблюдаемых, а также волновых функций и операторов, выраженных через эти собственные состояния. Посмотрим, как это проявляется в данном случае.

Упражнение 3.58

a) Покажите, что собственные состояния канонических и перемасштабированных наблюдаемых связаны следующим образом:

Подсказка: воспользуйтесь рассуждениями, приведенными в конце разд. 3.2, где речь шла о взаимосвязи операторов координаты и волнового числа.

c) Если определенное квантовое состояние имеет волновые функции ψ(x) = ⟨x|ψ⟩ и то что представляют собой соответствующие волновые функции ψ(X) = ⟨X|ψ⟩ и в перемасштабированных переменных?

d) Покажите, что соотношения для перевода волновых функций между

e) Покажите, что

f) Покажите, что принцип неопределенности Гейзенберга для перемасштабированных координаты и импульса принимает вид

Упражнение 3.59. Выразите гамильтониан (3.83) через перемасштабированные наблюдаемые

Ответ:

Теперь давайте определим и изучим свойства двух операторов, которые, как мы увидим в следующем подразделе, осуществляют переходы между соседними энергетическими собственными состояниями.

Оператор уничтожения (annihilation operator) определяется следующим образом:

Оператор â^† называется оператором рождения (creation operator).

Упражнение 3.60. Покажите, что:

a) оператор рождения равен

b) операторы уничтожения и рождения не являются эрмитовыми;

c) их коммутатор равен

d) координата и импульс могут быть выражены как

e) перестановочные соотношения для операторов рождения и уничтожения таковы:

f) гамильтониан (3.96) может быть записан как

3.8.2. Фоковские состояния

Наша следующая цель — найти собственные значения и собственные состояния гамильтониана гармонического осциллятора. Из (3.102) следует, что они являются также собственными состояниями оператора â^†â. Он называется оператором числа квантов (number operator) и обозначается символом Нормированное собственное состояние этого оператора с собственным значением n обозначается |n⟩:

â_†â|n⟩ = n|n⟩ (3.103)

Упражнение 3.61. Покажите, что:

a) состояние â|n⟩ есть также собственное состояние с собственным значением n — 1;

b) состояние â_†|n⟩ есть также собственное состояние с собственным значением n + 1.

Подсказка: воспользуйтесь уравнением (3.101).

Из упр. 3.46 мы знаем, что энергетические спектры связанных состояний невырождены, т. е. для каждого значения n существует не более одного собственного состояния энергии |n⟩. Следовательно, из упр. 3.61 мы можем заключить, что состояния â|n⟩ и â^†|n⟩ пропорциональны состояниям |n — 1⟩ и |n + 1⟩ соответственно. Обратите внимание: я пишу «пропорциональны», а не «равны», поскольку мы не можем гарантировать, что состояния â|n⟩ и â^†|n⟩ нормированы, тогда как |n — 1⟩ и |n + 1⟩ нормированы по определению. Более того, условие нормированности можно использовать для определения коэффициента пропорциональности.

Упражнение 3.62. Принимая во внимание, что все энергетические собственные состояния должны быть нормированными к 1, покажите, что (с точностью до произвольного фазового множителя):

Фазовый множитель, упомянутый в упражнении выше, выбираем мы сами — и можем определить его как угодно. Мы выберем простейший вариант и определим его равным 1, так что выражения (3.104) будут верны в том виде, в каком они здесь записаны.

Уравнение (3.104a) означает, что если состояние |n⟩ с энергией ℏω(n + 1/2) существует как физическое состояние (например, если оно представляет собой некоторый нормированный элемент гильбертова пространства), то существует и состояние |n — 1⟩ с энергией ℏω(n — 1/2). Подобным образом состояния |n — 2⟩, |n — 3⟩ и т. д. тоже должны существовать. Продолжая эту цепочку достаточно долго, мы придем к энергетическим собственным состояниям с отрицательными значениями энергии. Однако это невозможно, потому что гамильтониан — неотрицательный оператор (упр. A.72, A.87).