Отличная квантовая механика

Упражнение 3.48§. Решите уравнения (3.77) для B и C, если дополнительное уравнение:

a) D = 0,

b) A = 0.

Ответ:

Разумеется, любая линейная комбинация этих решений также является решением.

Выбор D = 0 или A = 0 в упражнении выше диктуется следующим соображением. Как мы выяснили в разд. 3.4, эволюция волны де Бройля вида e^ikx с положительным k соответствует распространению в направлении положительного x, а e^—ikx — в направлении отрицательного x. Следовательно, случай D = 0 соответствует волне де Бройля с амплитудой A (назовем ее A-волной), идущей слева и встречающей на своем пути барьер. Часть этой волны преодолевает барьер и становится C-волной; другая ее часть отражается в виде B-волны. Случай A = 0 соответствует частице, приходящей справа (D-волна) и порождающей B- и C-волны в прохождении и отражении соответственно.

В этом рассуждении несколько контринтуитивным является, возможно, то, что мы рассматриваем столкновение частицы с барьером как стационарное состояние, т. е. событие бесконечной длительности. Это связано с бесконечной пространственной протяженностью волны де Бройля, о которой мы говорили в разд. 3.2. Неплохой аналогией этого эффекта может служить непрерывный лазерный луч, переходящий из воздуха в стекло и претерпевающий частичное отражение в соответствии с формулами Френеля (отступление 3.8). Подобно ситуации с квантовой частицей, отражение здесь представляет собой не мгновенное событие, но стационарный процесс. Интересно, что если мы сравниваем уравнения Френеля (3.79) для амплитуд поля с уравнениями (3.78) и учитываем обратную пропорциональность оптического волнового числа фазовой скорости, а вследствие этого прямую пропорциональность коэффициенту преломления, то мы обнаруживаем, что эти две системы уравнений почти идентичны!

Отступление 3.8. Формулы Френеля

Рассмотрим оптическую волну амплитуды E₀, распространяющуюся в веществе с коэффициентом преломления n₀. Падая на границу одного вещества с другим, коэффициент преломления которого n₁, волна частично проходит сквозь эту границу, а частично отражается от нее. Формулы Френеля связывают амплитуды прошедшей и отраженной волн (E_t и E_r соответственно) с E₀ в зависимости от угла падения и поляризации. Для нормального падения эти уравнения принимают вид:

Отметим, что для n₀ > n₁ мы имеем E_t > E₀. Однако здесь нет нарушения закона сохранения энергии. Дело в том, что интенсивность (плотность потока мощности) оптической волны пропорциональна не только квадрату ее амплитуды, но и коэффициенту преломления:

I = 2ncε₀|E|².

Прошедшая в вещество волна движется с меньшей скоростью, так что поток энергии, переносимый этой волной, также ниже. Сумма интенсивностей отраженной и прошедшей волн

I_t + I_r = 2cε₀(n₁|E^t|² + n₀|E^r|²) = 2cε₀n₀|E₀|² = I₀,

равна интенсивности падающей волны.

Примечательная особенность результата (3.78a) заключается в том, что амплитуда C прошедшей волны де Бройля выше, чем амплитуда A падающей. Аналогично оптическому случаю (отступление 3.8), это не противоречит закону сохранения вещества, поскольку поток вещества пропорционален как плотности вероятности, связанной с волновой функцией, так и фазовой (или групповой) скорости данной волновой функции. Приняв это во внимание, мы обнаружим, что закон сохранения вещества соблюдается в точности.

Упражнение 3.49. Определив поток плотности вероятности волны де Бройля как j = 𝑣_ph|ψ(x)|², найдите потоки плотности вероятности для A-, B- и C-волн в (3.78a). Найдите коэффициенты отражения и пропускания для этих потоков, т. е. j_B/j_A и j_С/j_A. Покажите, что их сумма равна единице. Как ведут себя эти коэффициенты при E → V₀ и E → ∞?

Упражнение 3.50. Выполните упр. 3.47 для энергий ниже V₀. Убедитесь, что коэффициент отражения равен единице.

Если вам по-прежнему не нравятся столкновения бесконечной длительности, попробуйте сделать следующее. Начните с гауссова волнового пакета, движущегося на барьер, разложите его на множество волн де Бройля и исследуйте его эволюцию аналогично тому, как это делалось в упр. 3.29.

Упражнение 3.51*. Найдите эволюцию состояния, начальная волновая функция которого представляет собой гауссов пакет, описанный в (3.51) с положительным импульсом p₀ и отрицательной координатой центра a в поле потенциала-ступеньки (рис. 3.4). Считайте, что:

• |a| ≫ d, поэтому волновой пакет первоначально целиком находится слева от ступеньки;

• d² ≫ ℏt/M, поэтому расширением волнового пакета (упр. 3.29) можно пренебречь;

• начальная средняя энергия частицы больше, чем V₀;

• неопределенность импульса волнового пакета ℏ/2D мала по сравнению со средними импульсами ℏk₀ и ℏk₁ падающей и прошедшей волн де Бройля.