Отличная квантовая механика

Аналогичное рассуждение удается провести во всех практических случаях, поэтому волновую функцию можно всегда с уверенностью считать непрерывной — за исключением, возможно, каких-то чрезвычайно экзотических потенциалов. А вот производная волновой функции может демонстрировать разрывы всюду, где потенциал бесконечен или сингулярен.

Рассмотрим теперь другой крайний случай прямоугольной потенциальной ямы, важный как с образовательной, так и с научной точки зрения.

Упражнение 3.41. Найдите собственные значения энергии и волновые функции связанных стационарных состояний потенциала V (x) = —W₀δ (x) в координатном базисе.

Подсказка: проинтегрируйте обе части стационарного уравнения Шрёдингера на бесконечно малом интервале вокруг x = 0 и воспользуйтесь уравнением (Г.9).

Ответ: Единственное собственное состояние с и волновой функцией (рис. 3.3):

Упражнение 3.42*. Получите результат предыдущего упражнения при помощи альтернативного метода. Решите стационарное уравнение Шрёдингера для конечной потенциальной ямы (3.65) аналитически в пределе бесконечно глубокой и узкой потенциальной ямы: a → 0, V₀ = W₀/a при W₀ = const. Сколько связанных состояний может содержать эта потенциальная яма?

Упражнение 3.43. Частица находится в связанном состоянии потенциала V (x) = —W₀δ (x). Потенциал этот внезапно меняется на V (x) = –2W₀δ (x). Найдите вероятность того, что данная частица останется в связанном состоянии.

Упражнение 3.44*. Исследуйте связанные состояния потенциала

V (x) = —W₀δ (x — a) — W₀δ (x + a). (3.72)

Отступление 3.6. Мазер на аммиаке

«Двойная дельта-функция» в упр. 3.44 представляет собой теоретическую основу построения первого аммиачного мазера — предтечи современных лазеров, — сконструированного в 1953 г. Чарльзом Таунсом и его коллегами[83]. Источником излучения, использованным в этом мазере, была молекула аммиака NH₃, показанная на рисунке справа. Молекула имеет форму пирамиды, основание которой образуют три атома водорода, а на вершине располагается атом азота. Такое его положение соответствует минимуму потенциальной энергии, представленному одной из дельта-функций. Другая дельта-функция соответствует зеркальному отражению этой же конфигурации, где атом азота располагается ниже плоскости основания. Обе конфигурации обладают одинаковой энергией, и существует ненулевая вероятность «перепрыгивания» атома азота из одной конфигурации в другую. В результате энергетическими собственными состояниями являются не верхнее и нижнее положения атома азота, но их симметричные и антисимметричные линейные комбинации, как в упр. 3.44. Именно переход между этими двумя состояниями порождает 24-гигагерцовое микроволновое излучение, испускаемое мазером.

a) Найдите уравнение для собственных значений энергии (рассмотрите и четный, и нечетный случай). Сколько решений оно имеет?

b) Покажите, что в пределе при a → ∞ это уравнение становится идентичным уравнению для единичной ямы.

c) Найдите выражение для значений энергии и волновых функций собственных состояний гамильтониана для потенциала (3.72) вплоть до первого порядка при ℏ₂/W₀Ma ≪ 1.

Ответ: энергии четного и нечетного состояний равны

Наблюдаемое здесь поведение часто встречается в квантовой механике. Так, протон образует притягивающий потенциал для свободного электрона; этот потенциал порождает связанные состояния, которые мы называем атомом водорода. Если имеются два удаленных друг от друга протона и один-единственный электрон, то состояния электрона, связанного с любым из протонов, соответствуют одному и тому же собственному значению энергии — так что это вырожденное значение. Но если протоны находятся достаточно близко друг к другу, и следовательно, на электрон действуют оба потенциала одновременно, то энергетические собственные состояния становятся нелокальными, а вырожденность собственного значения энергии снимается: энергетические уровни расщепляются, как в уравнении (3.73). Это расщепление можно использовать в практических приложениях, как рассказывается в отступлении 3.6. Более того, отрицательный сдвиг энергии одного из новых энергетических собственных состояний может превысить положительный потенциал, возникающий вследствие кулоновского отталкивания двух протонов; в такой ситуации будет образована молекула.

Упражнение 3.45. В условиях предыдущей задачи (удаленные друг от друга ямы) предположим, что в момент времени t = 0 частица локализована в первой яме (т. е. ее волновая функция — это волновая функция из упр. 3.41 с центром в x = a). Как будет себя вести вероятность найти ее во второй яме в зависимости от времени?

В заключение давайте выведем важное свойство связанных состояний, которое пригодится нам позже.

Упражнение 3.46*. Покажите, что связанные энергетические собственные состояния точечной частицы с единственной степенью свободы не могут быть вырожденными, если потенциал ограничен снизу.