Отличная квантовая механика

3.7. Несвязанные состояния

Волновые функции несвязанного состояния принимают конечные ненулевые значения при x → —∞, или при x → +∞, или в обоих случаях. Как мы уже выяснили, это происходит, когда энергия E удовлетворяет условию

E > V (—∞) или E > V (+∞). (3.74)

Простейшим примером несвязанного состояния может служить собственное состояние импульса |p⟩ в свободном пространстве. Связанное с ним собственное значение энергии E = p²/2M превышает потенциал V (x) ≡ 0.

Поскольку, в отличие от связанного состояния, у нас здесь нет граничного условия ψ(x) → 0 при x → ±∞, уравнение Шрёдингера (3.60) имеет решение для любого значения энергии [если только выполняется (3.74)]. Более того, в некоторых случаях энергетические собственные состояния вырождены. Именно так, например, обстоит дело с потенциалом свободного пространства, в котором состояния |±p⟩ обладают одинаковой энергией.

Существование собственного состояния для любого значения энергии, удовлетворяющего (3.74), означает, что энергия в этой области становится непрерывным наблюдаемым (см. отступление 3.7). По этой причине несвязанные состояния иногда называют состояниями непрерывного спектра. Скажем, в ситуации рис. 3.1 спектр энергии дискретен для E < 0 и непрерывен для E ≥ 0.

Как мы знаем из разд. 3.2, нормирование для собственных состояний непрерывных наблюдаемых — дело хитрое и неоднозначное. Поэтому, как правило, при анализе волновых функций несвязанных состояний о нормировании мы не думаем.

3.7.1. Потенциал-ступенька

Упражнение 3.47§. Найдите волновые функции, соответствующие собственным состояниям гамильтониана с потенциалом

(рис. 3.4), соответствующим заданной энергии E > V₀, принимая во внимание условие непрерывности самой волновой функции и ее производной при x = 0.

Ответ: любая волновая функция вида

где и четыре амплитуды A, B, C, D удовлетворяют

A + B = C + D; (3.77a)

ik₀ (A — B) = ik₁ (C — D). (3.77b)

Отступление 3.7. Энергия: дискретное или непрерывное наблюдаемое?

Дискретный или непрерывный характер большинства наблюдаемых, которые мы изучали до сих пор, зависит от их физической природы. Для энергии же он зависит от конкретных физических обстоятельств, о которых идет речь: энергетический спектр дискретен внутри потенциальных ям и непрерывен для несвязанных состояний. Более того, энергетический спектр в одних и тех же условиях может содержать и дискретные, и непрерывные области. Именно так обстоит дело в случае конечной ямы (упр. 3.39), где состояния становятся несвязанными, а спектр энергий — непрерывным для E > V₀. Есть и более физичный пример: электрон может находиться в связанном состоянии по отношению к ядру, образуя вместе с ним атом с дискретным энергетическим спектром, или в несвязанном состоянии с непрерывным спектром, соответствующим ионизированному атому.

Можно возразить, что энергия по природе является непрерывной переменной, а форма потенциальной функции определяет лишь, какие значения этой переменной связаны с собственными значениями гамильтониана. Однако по определению (подразд. 1.9.1) именно эта связь устанавливает разрешенное множество значений оператора квантового наблюдаемого. Если энергетические собственные состояния существуют для дискретного набора значений, то и сам оператор энергии становится дискретным наблюдаемым.

Мы знаем, что дискретные и непрерывные наблюдаемые следуют разным правилам нормирования. Удивительным образом энергетические собственные состояния этим правилам подчиняются. Связанные состояния имеют квадратично интегрируемые волновые функции, разрешающие применение нормировочного правила для дискретного спектра ⟨E_i | E_j⟩ = δ_ij. Несвязанные волновые функции, в свою очередь, имеют бесконечную норму, как и следует ожидать для состояний непрерывного спектра.

Еще одна интересная особенность энергетических собственных состояний заключается в том, что, каким бы сложным ни был их спектр, они обязательно образуют базис в гильбертовом пространстве состояний, которые физически разрешены в условиях заданного потенциала. Например, все энергетические собственные волновые функции бесконечной потенциальной ямы (упр. 3.40) за пределами ямы уходят в нуль. Соответственно, натянутое на них гильбертово пространство — это пространство не всех возможных функций, но только функций, локализованных внутри ямы, т. е. тех, которые разрешены в условиях потенциала этой формы.

Видим, что общее решение зависит от четырех параметров, тогда как условия непрерывности порождают только два уравнения (3.77). Нормирование дало бы еще одно дополнительное уравнение; однако мы договорились пренебречь нормированием, а потому можно просто сказать, что любые две волновые функции, различающиеся на постоянный множитель, физически идентичны. Это оставляет нам три параметра и два уравнения; следовательно, для каждого значения энергии существует два линейно независимых набора решений. Найдем их, введя в систему дополнительное уравнение.