Отличная квантовая механика

Это уравнение называют стационарным уравнением Шрёдингера (time-independent Schrödinger equation). Как правило, мы будем работать в координатном базисе и искать волновую функцию ψ(x) состояния |ψ⟩. С этой целью мы берем скалярное произведение обеих сторон уравнения (3.59) и бра-вектора ⟨x|.

Упражнение 3.32. Покажите, что в x-базисе стационарное уравнение Шрёдингера (3.59) принимает вид:

Это обычное дифференциальное уравнение второго порядка, которое можно решить и аналитически, и численно. Прежде чем перейти к поиску решений для конкретных потенциалов, разберем некоторые их общие свойства.

Упражнение 3.33. Найдите общие решения уравнения (3.60) для V (x) = V₀. Рассмотрите следующие случаи:

a) E > V₀;

b) E < V₀.

Ответ:

Мы видим, что эти решения принципиально различны для энергий выше и ниже уровня потенциала. В первом случае мы получаем пространственные осцилляции, как у волны де Бройля. Во втором случае решения возрастают или убывают экспоненциально в зависимости от координаты. При x → ±∞ такое решение подразумевает бесконечные вероятности, поэтому оно не может существовать в каком-либо физическом состоянии (или даже в приближении такового).

Следующее упражнение обобщает это наблюдение на произвольные потенциалы.

Упражнение 3.34. Покажите, что гамильтониан (3.55) не может иметь собственные значения меньшие, чем минимум функции V (x) по действительной оси.

Иными словами, не может быть энергетических собственных значений, таких что E < V (x) для всех x. Однако ситуации, в которых энергия ниже потенциала на части оси x, возможны, как в случае, например, с квантовым туннелированием (которое мы вскоре начнем изучать).

Упражнение 3.35. Покажите, что если ψ(x) есть решение стационарного уравнения Шрёдингера, то и ψ(x), и dψ(x)/dx должны быть непрерывны в точках, где потенциал V(x) конечен.

Этот результат окажется чрезвычайно полезен при решении многих задач, в которых потенциал задается кусочной функцией, т. е. набором различных элементарных функций, каждая из которых определена в собственном интервале координат. Найти решение для каждого из этих интервалов относительно легко, но затем эти решения необходимо «сшить», чтобы они образовали физически осмысленную волновую функцию. Упражнение 3.35 дает нам лекало для такого «сшивания».

Упражнение 3.36. Рассмотрите множество S_E, состоящее из всех собственных состояний гамильтониана с собственным значением энергии E. Покажите, что существует остов множества S_E, состоящий только из состояний с действительными волновыми функциями.

Например, волна де Бройля

связанная с импульсным собственным состоянием |p⟩, является решением стационарного уравнения Шрёдингера с собственным значением энергии E = p²/2M. Это же верно для волновой функции

которая представляет собой волну де Бройля для собственного состояния импульса |—p⟩. Множество S_E состоит из состояний |±p⟩ и их линейных комбинаций. В частности, действительные волновые функции

также представляют энергетические собственные состояния с тем же собственным значением. Волновые функции де Бройля (3.61) и (3.62) — а следовательно, и любая другая волновая функция, соответствующая той же энергии, — могут быть записаны как линейные комбинации этих действительных волновых функций.

Таким способом упр. 3.36 упрощает для нас поиск решений стационарного уравнения Шрёдингера. Мы можем ограничить поиски только действительными волновыми функциями без опасения что-нибудь «пропустить»: любое другое решение может быть записано как их линейная комбинация.

Упражнение 3.37. Рассмотрим множество S_E, состоящее из всех собственных состояний гамильтониана с собственным значением энергии E. Покажите, что если V (x) есть четная функция координаты, то существует остов S_E, состоящий из состояний только с четными и нечетными волновыми функциями.

3.6. Связанные состояния

Связанные состояния (bound states) характеризуются волновой функцией, которая на обоих концах — при x → ∞ и x → —∞ — стремится к нулю, так что частица демонстрирует некоторую степень локализации. Это свойство типично для энергетических собственных состояний в потенциальных ямах, т. е. в полях, где частица тяготеет к определенной локации или определенному набору локаций. Среди физических примеров можно назвать горошину в чайной чашке, шарик на пружине (гармонический осциллятор) или электрон в атоме. Для потенциалов такого типа мы обычно пользуемся упр. 3.36 и ищем решения стационарного уравнения Шрёдингера в действительной области.

Упражнения 3.38. Рассмотрим потенциал V(x), который при |x| → ±∞ асимптотически сходится к величинам V_1,2 соответственно. Покажите, что энергетическое собственное состояние является связанным в том и только том случае, если его энергия не превосходит min (V₁, V₂).