Отличная квантовая механика

В качестве примера рассмотрим взаимоотношения между импульсом и кинетической энергией. Наблюдаемое импульса равно

и это означает, согласно определению, данному в подразд. 1.9.1, что множество всех кет-векторов |p⟩ образует ортонормальный базис гильбертова пространства, а каждый из этих кет-векторов обозначает состояние частицы с определенным значением импульса p.

Далее, каждое такое состояние характеризуется также определенной кинетической энергией K = p²/2M. Следовательно, наблюдаемое кинетической энергии должно записываться, согласно тому же определению, как:

Но, согласно определению A.25 для операторных функций, это выражение может быть записано просто как:

До сих пор мы обсуждали статические, не зависящие от времени свойства волны де Бройля. Теперь давайте посмотрим, как эта волна эволюционирует во времени. В разд. 1.10 постулировалось, что квантовая эволюция определяется гамильтонианом, который представляет собой сумму кинетической и потенциальной энергий. Эти энергии являются функциями координаты и импульса частицы:

Этот гамильтониан идентичен классическому, за исключением того, что канонические наблюдаемые здесь записываются как операторы (обсуждение того, почему мы можем это делать, см. в отступлении 3.4). Здесь M — это масса частицы, — оператор кинетической энергии, а — потенциальная энергия, которая является функцией наблюдаемого оператора координаты.

Движение частицы и эволюция ее состояния зависят от конкретного вида потенциала Давайте начнем с простейшего случая V (x) ≡ 0 (эволюция в свободном пространстве). При этом условии любое собственное состояние |p⟩ оператора импульса с собственным числом p является также собственным состоянием гамильтониана (3.55) с собственным значением (энергией) E = p²/2M.

Упражнение 3.28. Покажите, что волновая функция, описывающая эволюцию состояния |p⟩ под действием гамильтониана (3.55) при V(x) ≡ 0, задается выражением

Согласно этому результату, поведение волновой функции собственного состояния импульса во времени аналогично поведению движущейся волны с волновым числом k = p/ℏ и угловой частотой

Эволюция этой волны представляет собой равномерное движение с фазовой скоростью (отступление 3.5) 𝑣_ph = λ_dB/T = w/k = p/2M, где T = 2π/ω — период, связанный с волновым движением.

Удивительным образом данная фазовая скорость отличается от величины p/M, которая ожидалась бы в классическом случае. Объясняется это тем, что в (нефизичном) собственном состоянии импульса координата полностью неопределенна, а вероятность нахождения частицы одинакова по всей одномерной вселенной. Эта вероятность не меняется во времени. Соответственно, фазовая скорость волны де Бройля не соответствует непосредственно движению вещества.

Чтобы понять, как эволюция Шрёдингера переходит в движение, нам нужно изучить состояние, волновая функция которого локализована до некоторой степени в пространстве (для таких волновых функций мы используем термин волновой пакет). Движение этих волн управляется групповой скоростью:

в точном соответствии с классическими ожиданиями[82].

Посмотрим, например, на гауссово состояние с ненулевым средним импульсом. В упр. 3.25 мы узнали, что его можно разложить на множество волн де Бройля. Каждая из этих волн эволюционирует в соответствии с (3.28). Как эта эволюция повлияет на волновой пакет в целом?

Упражнение 3.29*. Рассмотрим волновую функцию, которая в момент времени t = 0 имеет гауссов вид (3.51).

a) Найдите соответствующую волновую функцию в базисе волнового числа. Найдите эволюцию под действием гамильтониана свободного пространства.

b) Используйте обратное преобразование Фурье, чтобы найти волновую функцию ψ(x,t) в координатном базисе.

Подсказка: для прямого и обратного преобразований Фурье воспользуйтесь свойствами (Г.13) и (Г.14).

c) Найдите среднее значение ⟨x⟩ и дисперсию ⟨∆x²⟩ координаты в зависимости от времени.

Ответ:

Как и ожидалось, волновой пакет движется с эффективной групповой скоростью 𝑣_gr = p₀/M. Но помимо этого он расширяется со временем. Это явление, известное как расплывание волнового пакета (spreading of the wavepacket), является следствием дисперсии групповой скорости, т. е. того факта, что групповая скорость (3.58) неодинакова для разных значений k. В результате простое описание движения волновой функции на языке фазовой и групповой скоростей, как в отступлении 3.5, верно лишь приближенно.

Отступление 3.5. Фазовая и групповая скорости

Фазовая и групповая скорости (phase and group velocities) — это фундаментальные понятия волновой механики. Разберем их здесь коротко. Рассмотрим волну, распространяющуюся вдоль оси z:

W(z,t) = W₀Re[e^ikz−iωt].

Конкретная природа волны не имеет значения: она может быть оптической, акустической или квантовой волной де Бройля. Приведенное выше уравнение можно переписать как: