Отличная квантовая механика

Упражнение 3.17. Матричный элемент A (x, x') = ⟨x | Â | x' ⟩ оператора Â известен для всех x и x'. Найдите Ã(p, p') = ⟨|p|Â|p'⟩.

Упражнение 3.18. Рассмотрите функцию оператора координаты. Напишите элемент матрицы этого оператора:

a) в координатном базисе;

b) в импульсном базисе.

Ответ:

Если вы уже изучали введение в квантовую механику, то вам, возможно, встречалось выражение

означающее, что импульс соответствует оператору дифференцирования волновой функции. В контексте более строгой теории, рассматриваемой нами здесь, это утверждение не имеет особого смысла. Операторы действуют на векторы состояния, а волновая функция не является вектором; она представляет собой скалярное произведение двух векторов, т. е. число. Какое действие может оператор оказывать на число? Давайте разберемся.

Упражнение 3.19. Покажите, что элемент матрицы импульса в координатном представлении задается формулой:

Упражнение 3.20. Покажите, что для произвольного состояния |ψ⟩

Этот результат объясняет смысл уравнения (3.42). Если состояние |ψ⟩ в координатном базисе имеет волновую функцию ψ(x), то состояние имеет волновую функцию — iℏdψ(x)/dx. Именно в этом смысле данное уравнение используется при вычислениях, несмотря на то что со строго математической точки зрения оно вызывает вопросы.

Упражнение 3.21§. Получите аналоги приведенных выше результатов для оператора координаты в импульсном представлении.

a) Покажите, что соответствующий матричный элемент равен

b) Покажите, что для произвольного состояния |ψ⟩

Упражнение 3.22. Покажите, что

3.3.2. Неопределенность координаты и импульса

Теперь, когда у нас есть некоторый опыт смены координатного базиса на импульсный и обратно, мы готовы ввести для этих наблюдаемых соотношение неопределенностей. Как мы знаем из подразд. 1.9.3, соотношение неопределенностей, соответствующих любым двум наблюдаемым, определяется их коммутатором.

Упражнение 3.23. Покажите, что для любого состояния |ψ⟩:

Упражнение 3.24. Покажите, что принцип неопределенности Гейзенберга для координатного и импульсного наблюдаемых и для любого состояния |ψ⟩ имеет вид:

Таким образом, мы получили принцип неопределенности в его первоначальном виде: состояние частицы с одновременно точно известными координатой и импульсом невозможно[77].

Упражнение 3.25. Выполните для гауссовой волновой функции

следующие вычисления:

a) проверьте нормирование;

b) найдите соответствующую волновую функцию в импульсном базисе.

Подсказка: используйте стандартные правила преобразования Фурье.

Ответ:

c) Определите математическое ожидание и неопределенность координаты и импульса, а также произведение этих неопределенностей.

Ответ:

⟨x⟩ = a; ⟨p⟩ = p₀; ⟨∆x²⟩ = d²/2; ⟨∆p²⟩ = ℏ²/2d². (3.53)

Мы видим, что для гауссовых состояний произведение дисперсий координаты и импульса равно ℏ²/4 — минимальному значению, которое допускает принцип неопределенности. Можно соотнести неопределенность координаты — импульса со свойствами преобразования Фурье (разд. Г.2): если волновая функция в координатном базисе «сужается», ее Фурье-образ, т. е. та же волновая функция в импульсном базисе, «расширяется». Общий принцип квантовой неопределенности, конечно же, много шире: он действует для любой пары некоммутирующих наблюдаемых, вне зависимости от того, связаны они между собой преобразованием Фурье или нет.

Упражнение 3.26*§. Покажите, что гауссовы волновые пакеты вида (3.51) — это единственные состояния, для которых неравенство (3.50), выражающее принцип неопределенности, становится равенством[78].

3.3.3. Парадокс Эйнштейна — Подольского — Розена в первоначальном виде

Давайте теперь воспроизведем еще один научный шедевр — парадокс Эйнштейна — Подольского — Розена 1935 г. В подразд. 2.3.1 мы изучили вариант этого парадокса, адаптированный к той квантовой системе, которую мы тогда рассматривали, — к поляризации фотона. Теперь же у нас имеется достаточно инструментария, чтобы разобрать рассуждения ЭПР в их изначальном виде.

Предположим, что каждый из двух наблюдателей — и Алиса, и Боб — удерживает одномерную точечную частицу. Эти две частицы приготовлены в запутанном состоянии |Ψ_AB⟩ с волновой функцией

ψ(x_A, x_B) = δ (x_A — x_B) (3.54)

(нормированием пренебрегаем). Иными словами, частицы Алисы и Боба (в своих соответствующих системах отсчета) всегда имеют одну и ту же пространственную координату, но конкретное значение этой координаты совершенно случайно.

Упражнение 3.27. Дайте ответы на следующие вопросы о состоянии (3.54).

a) Какова волновая функция двух частиц в импульсном представлении?

b) Предположим, Алиса проводит измерение координаты своей частицы и получает результат x₀. На какое состояние спроецируется частица Боба?

c) Предположим, Алиса вместо этого проводит измерение импульса своей частицы и получает результат p₀. На какое состояние спроецируется частица Боба?