Отличная квантовая механика

Отступление 3.3. Можно ли одновременно измерить координату и импульс?

В своей оригинальной работе[79] Вернер Гейзенберг сформулировал принцип неопределенности следующим образом:

«Чем точнее определяется положение, тем менее точно известен импульс, и наоборот»[80].

Продемонстрируем недостаток этой формулировки путем наглядного контрпримера[81]. Предположим, что мы приготовили частицу массой M в координатном собственном состоянии |x = 0⟩ в момент времени t = 0. Поскольку координата частицы известна точно, ее импульс имеет совершенно неопределенную величину. Мы позволяем этому состоянию свободно эволюционировать некоторое время t₀, а затем производим измерение наблюдаемой получая при этом некоторую величину x₀. Теперь координата частицы непосредственно перед измерением нам точно известна. Но и импульс точно известен! Действительно, поскольку известно, что в момент t = 0 координата была в точности x = 0, а в момент t = t₀ она в точности равна x = x₀, мы заключаем, что скорость перед измерением была равна в точности 𝑣 = x₀/t₀, из чего следует, что импульс должен был быть равен p₀ = mx₀/t₀.

Естественно, этот пример не противоречит принципу неопределенности в том виде, в каком он определен уравнением (3.50). Это уравнение утверждает, что измерения и проявляют некоторую степень случайности, но не утверждается, что они не могут коррелировать друг с другом. Именно так обстоит дело с нашей частицей: поскольку в начальном состоянии она имеет совершенно неопределенный импульс, величины x₀ и p₀, которые могло бы дать измерение в момент t₀, полностью непредсказуемы. Однако они взаимосвязаны — пропорциональны друг другу.

Наш пример показывает, что можно узнать координату и импульс частицы post factum, т. е. после измерения. Однако невозможно приготовить частицу так, чтобы ее координата и импульс были известны a priori, т. е. до измерения.

Я хотел бы также пояснить, что здесь нет никакого противоречия с нашей дискуссией в подразд. 1.9.3, где говорилось, что некоммутирующие наблюдаемые не могут быть измерены одновременно. Там речь шла о возможности построения прибора, который выдавал бы точную информацию о координате и импульсе для каждого состояния. А в данном примере одновременная информация об этих наблюдаемых получается для одного конкретного состояния, специально построенного нами для создания парадоксальной ситуации.

Ответ:

Мы видим, что, если Алиса решает измерить координату своей частицы, она тем самым удаленно приготавливает частицу Боба в состоянии с точно определенной координатой и неопределенным импульсом. В то же время если Алиса измеряет импульс, то Боб получает состояние с определенным импульсом и неопределенной координатой. Таким способом Алиса может удаленно, без всякого взаимодействия с Бобом, выбрать и приготовить в его локации одну из двух взаимоисключающих реальностей.

Можно возразить, что такое рассуждение требует использования сингулярных волновых функций, которые, как уже подчеркивалось, нефизичны. Это серьезное возражение. Однако парадокс ЭПР можно без труда переформулировать для физически возможного гауссова состояния, в котором корреляция координат и антикорреляция импульсов почти, но не совершенно, точны. При этом состояние становится физически допустимым, а нарушение локального реализма никуда не девается. Мы убедимся в этом в подразд. 3.10.3.

Здесь важно подчеркнуть, что в исходном виде парадокс ЭПР не демонстрирует нелокальность природы в той же степени, что и эксперимент Белла. Неравенство Белла выполняется для любого локально реалистичного эксперимента, передняя панель которого соответствует рис. 2.2, так что необязательно верить в квантовую механику, чтобы убедиться в нелокальности, наблюдая нарушение неравенства Белла в эксперименте. А вот Gedankenexperiment ЭПР в первоначальном варианте человеку, который не верит в квантовую механику и, в частности, в принцип неопределенности, парадоксальным не покажется. Действительно, если частицам позволяется одновременно иметь определенные координату и импульс, то наблюдаемые корреляции можно легко объяснить так: частицы Алисы и Боба каждый раз приготовляются с одними и теми же (но случайными) координатами и противоположными (но случайными) значениями импульса. На языке Белла это означает, что оригинальный эксперимент ЭПР, в отличие от эксперимента Белла, может быть объяснен в рамках модели с локальной скрытой переменной.

3.4. Потенциал свободного пространства

Отступление 3.4. Просто добавьте крышечки?

Уравнение (3.55) мы получили, приписав крышечки над переменными в соответствующем классическом выражении. Эта операция не слишком сильно влияет на внешний вид выражения, а вот его физическую суть меняет кардинально: переменные превращаются в операторы. По какому праву мы производим такие изменения?