Отличная квантовая механика

где 𝑣_ph = ω/k есть фазовая скорость. Из приведенного выше уравнения ясно, что это скорость, с которой движутся точки постоянной фазы (волновые фронты). Определяется она функцией k (ω), известной как дисперсионное соотношение. Эта функция зависит от физики волны и/или среды, в которой она распространяется.

Теперь предположим, что волна промодулирована, как показано на рисунке. В момент времени t = 0 она имеет вид:

где Δk≪k описывает огибающую модуляции. Найдем скорость движения этой огибающей. Подставив ненулевое время в уравнение выше, находим:

где ∆ω — приращение частоты, соответствующее приращению ∆k волнового числа, а 𝑣_gr = ∆ω/∆k — групповая скорость, т. е. скорость, с которой распространяется огибающая.

Групповая скорость определяет, например, скорость сигналов, переносимых волной. В системах, где волновое число пропорционально частоте (к примеру, электромагнитные волны в вакууме), фазовая и групповая скорости равны. Если соотношение между этими двумя величинами более сложное, эти скорости могут сильно различаться, порождая множество занятных явлений.

Полезно сравнить это поведение с поведением лазерных импульсов. Такие импульсы могут распространяться на большие расстояния в вакууме безо всякого расплывания, потому что групповая скорость света в вакууме постоянна; она не зависит от частоты или волнового числа. Но, если распространение происходит в преломляющей среде с сильной дисперсией, где коэффициент преломления — а следовательно, и групповая скорость — изменяется в зависимости от частоты, импульсы будут расплываться.

Исходя из приведенных выше результатов, мы знаем, что расширением можно пренебречь, если в этом случае форма гауссова волнового пакета не меняется: он движется как единое целое, копируя классическое движение точечной частицы. Это условие для микроскопических объектов почти всегда выполняется.

Но даже для микроскопических объектов эффект расширения весьма трудно наблюдать экспериментально. Это связано, в частности, со взаимодействием частицы с другими объектами. Как обсуждалось в подразд. 2.4.2, такое взаимодействие приводит к декогеренции, которая вызывает коллапс состояния на координатное собственное состояние или смесь таких состояний, таким образом «заново запуская» расширение. Расширение подавляется также в том случае, если частица находится в потенциальной яме, изучением которой мы вскоре займемся.

Упражнение 3.30. Оцените время, которое потребуется, чтобы:

a) волновой пакет, описывающий единичный электрон с координатной неопределенностью порядка 1Å, расширился на 1 мм;

b) волновой пакет, описывающий металлический шарик массой 1 г с координатной неопределенностью порядка 1Å, расширился на 1 мм;

c) волновой пакет, описывающий 40-килограммовое зеркало интерферометра в гравитационном волновом проекте LIGO, координата которого известна с точностью d = 10^–18 м, расширился в такой степени, чтобы дисперсия его координаты удвоилась.

Упражнение 3.31. Покажите, что если среднее значение импульса намного превосходит неопределенность импульса первоначального волнового пакета, то расстояние, пройденное центром волнового пакета за время t, много больше величины, на которую он расширится.

3.5. Стационарное уравнение Шрёдингера

В оставшейся части этой главы мы будем изучать квантовое поведение точечной частицы в поле некоторой консервативной силы. Мы знаем, что это поведение управляется уравнением Шрёдингера. Вместо того чтобы искать его общее решение, мы сначала научимся выполнять более скромное задание: находить множество энергетических собственных значений и собственных состояний для определенного потенциала. Если мы успешно справимся с этой задачей, то сможем определить и динамику во времени. С этой целью достаточно разложить начальное состояние на энергетические собственные состояния, а затем применить уравнение эволюции (1.25) к каждому из этих состояний.

Энергетические собственные состояния не только полезны для вычисления эволюции, но и физически значимы, поскольку часто образуют предпочтительный для декогеренции базис (см. подразд. 2.4.2). Это означает, что такие состояния и их статистические смеси возникают намного чаще, чем их же когерентные суперпозиции.

Кроме того, энергетические собственные состояния можно наблюдать экспериментально при помощи света. Переход между этими состояниями в атомах или молекулах связан с поглощением или излучением фотона, энергия которого ℏω равняется разнице соответствующих энергий в веществе. С помощью спектроскопии — измеряя длины волн, на которых происходит поглощение или излучение, — можно определить соответствующие энергии и тем самым проверить квантовые расчеты экспериментально.

Таким образом, наша задача — найти состояния |ψ⟩, такие что