Отличная квантовая механика

Граничные условия, наложенные на волновую функцию при x → ±∞, дополняют дифференциальное стационарное уравнение Шрёдингера, порождая краевую задачу. Задача эта имеет решение только для определенных, дискретных значений энергии. Иными словами, связанные состояния существуют для дискретного, или квантованного, спектра собственных значений энергии, которые называют энергетическими уровнями.

Упражнение 3.39. Найдите энергетические собственные значения и собственные волновые функции для потенциала прямоугольной ямы конечной глубины

a) Напишите общее решение для каждой области, где потенциал постоянен. Исключите нефизичные слагаемые, возрастающие на бесконечности.

Подсказка: воспользуйтесь результатом упр. 3.37.

b) Примените упр. 3.35 для «сшивания» этих результатов воедино. Покажите, что значения энергии, для которых одновременно достигается непрерывность как волновой функции, так и ее производной при x = ±a/2, должны подчиняться трансцендентным уравнениям

для четных волновых функций и

для нечетных волновых функций, где

c) Решите эти уравнения численно и постройте графики энергий трех самых низких связанных состояний в зависимости от глубины V₀ потенциальной ямы.

Ответ: см. рис. 3.2a.

d) Какую минимальную глубину должна иметь потенциальная яма, чтобы в ней содержалось заданное число N связанных собственных состояний?

Ответ: [πℏ(N − 1)]₂/2Ma₂.

e) Постройте графики волновых функций, соответствующих всем возможным собственным значениям энергии для а также трех самых низкоэнергетических решений для V₀ = ∞.

Ответ: см. рис. 3.2b.

Данная задача требует больше труда, чем большинство других упражнений, но я посоветовал бы вам все же попытаться решить ее или по крайней мере тщательно разобрать решение, поскольку она хорошо иллюстрирует общие черты поведения волновых функций связанного состояния. Обсудим их вкратце.

Как можно понять из рис. 3.2b, волновая функция продолжается и за пределами потенциальной ямы, так что существует ненулевая вероятность нахождения частицы в той области, где потенциал выше, чем энергия данной частицы. Разумеется, это откровенно неклассическое явление: если бы наша частица была классическим шариком, мечущимся в щели между двух стенок, мы никогда не обнаружили бы ее вне этой щели. Чем больше разница между энергией состояния E и глубиной ямы V₀, тем быстрее падает волновая функция за пределами ямы и тем ниже вероятность нахождения частицы в этой области. В пределе при V₀ → ∞ эта вероятность стремится к нулю. В данном случае задача, как мы увидим в следующем упражнении, допускает аналитическое решение.

В отличие от экспоненциального падения за пределами ямы, внутри нее волновая функция демонстрирует осциллирующее поведение, в соответствии с упр. 3.33. Для каждого последующего энергетического собственного состояния число раз, которые волновая функция пересекает ось абсцисс, возрастает на единицу. Рост этого числа связан с более быстрыми пространственными осцилляциями, с более высоким волновым числом — и, следовательно, с более высоким значением энергии. Соответственно, для каждого ненулевого числа пересечений существует определенный минимальный потенциал, ниже которого этого связанного состояния уже не существует (рис. 3.2a). Чем глубже и шире потенциальная яма, тем больше связанных состояний она может поддерживать. Однако, какой бы мелкой эта яма ни была, она поддерживает по меньшей мере одно связанное состояние — с волновой функцией, не пересекающей оси абсцисс.

Упражнение 3.40. Найдите энергетические собственные значения и волновые функции связанных стационарных состояний для упр. 3.39 в случае V₀ → ∞ (известном как бесконечно глубокая потенциальная яма).

Ответ: Дискретный энергетический спектр с

и собственными волновыми функциями

Эти волновые функции показаны на рис. 3.2b справа.

Они демонстрируют следующие интересные свойства:

• ψ(x) = 0 вне ямы;

• dψ(x)/dx показывает разрывы при x = ±a/2;

• ψ(x) непрерывна при любых значениях координаты.

Исчезающая вне ямы волновая функция может рассматриваться как крайний случай экспоненциального падения вне ямы, наблюдавшегося в предыдущем упражнении; в данном случае яма бесконечно глубока, и коэффициент затухания тоже бесконечен. Бесконечное значение потенциала вне ямы подразумевает также, что на нас не действуют условия из упр. 3.35, так что ни волновой функции, ни ее производной необязательно быть непрерывными при x = ±a/2. Однако мы видим, что разрывы есть только у dψ(x)/dx, тогда как у самой волновой функции их нет. Это можно понять следующим образом. В соответствии с упр. 3.33 производная волновой функции внутри ямы ограничена величиной |dψ(x)/dx ≤ k|ψ(x), где Вне ямы |dψ(x)/dx| = 0. Это означает, что разрыв производной волновой функции на границе ямы конечен, что подразумевает, в свою очередь, непрерывность самóй волновой функции.