Отличная квантовая механика

Поначалу это может показаться странным. Согласно (3.1a), скалярное произведение координатного собственного состояния |x⟩ на самого себя есть ⟨x | x⟩ = δ (0), так что такое состояние имеет бесконечную норму. Как это согласуется с аксиомой гильбертова пространства квантовой механики, которая гласит, что все физические состояния должны иметь норму 1? Вот что мы на это ответим: собственные состояния непрерывных наблюдаемых нефизичны — невозможно поместить частицу в абсолютно точную позицию или заставить ее двигаться с абсолютно точной скоростью. Поэтому правило нормирования для физических состояний не применимо к |x⟩ или |p⟩; эти состояния представляют собой всего лишь математическую абстракцию[76]. Все физически реалистичные состояния, имеющие некоторую неопределенность в значении как координаты, так и импульса, действительно имеют единичную норму согласно постулату.

Любое квантовое состояние |ψ⟩ может быть разложено по базису, связанному с непрерывным наблюдаемым:

Это уравнение заменяет уравнение (A.1) для разложения состояния по дискретному базису: сумму здесь сменяет интеграл. Функция ψ(x) называется волновой функцией состояния |ψ⟩ в x-базисе (или x-представлении) и является аналогом, в случае непрерывного наблюдаемого, столбцового представления вектора в гильбертовом пространстве конечной размерности. Взяв сопряженные величины от обеих сторон (3.2), а именно

мы обнаруживаем также, что волновая функция вектора ⟨ψ| равна ψ^* (x).

Упражнение 3.1. Покажите, что можно построить следующие непрерывные аналоги основных дискретных соотношений:

a) вместо (A.6):

ψ(x) = ⟨x | ψ⟩; (3.4)

b) вместо (A.26):

c) вместо (A.4):

Отступление 3.1. Если использовать правило нормирования для конечной размерности

Что если мы захотим избежать использования обобщенных функций и попробуем применить правила нормирования для конечных размерностей к гильбертову пространству непрерывной переменной? К сожалению, при этом не получится разработать непротиворечивый набор отношений между состояниями, волновыми функциями и наблюдаемыми. Например, пусть

Тогда, подставив (3.2) в (3.4), получим:

Последнее выражение в строке выше содержит интеграл функции, которая имеет ненулевое конечное значение всего в одной точке x' = x и потому обращается в нуль. Таким образом, в предположении (3.7) волновые функции всех физических состояний будут равны нулю.

Упражнение 3.2. Покажите, что для физических состояний

Упражнение 3.3. Вычислите нормирующий множитель A для состояний со следующими волновыми функциями:

a) прямоугольная функция

b) гауссова функция

Упражнение 3.4. Найдите волновую функцию состояния с определенной координатой |x₀⟩ в координатном базисе.

Как и в дискретном случае, операторы, связанные с непрерывными наблюдаемыми, задаются как

Функции операторов, естественно, определяются как

Для произвольного оператора Â двумерная функция

A (x, x') = ⟨x |Â| x'⟩(3.13)

называется матричным элементом этого оператора.

Как мы увидим далее, по аналогии со случаем дискретной переменной, матричный элемент ⟨x |Â| x'⟩, будучи функцией x и x', содержит полную информацию об операторе. В более общем случае мы можем производить операции с состояниями и операторами, представленными одно- и двумерными функциями соответственно, так же как мы оперируем с матрицами в дискретном случае, но заменяя суммирование интегрированием.

Упражнение 3.5. Покажите, что

Упражнение 3.6. Докажите, что:

a) любой оператор Â можно записать в виде

где A (x, x') задается уравнением (3.13);

b) для любой операторной функции

c) для любого оператора Â и любых двух состояний |ψ⟩, |ϕ⟩

d) волновая функция состояния Â | ψ⟩ равна

e) волновая функция состояния ⟨ψ|Â равна

f) матричные элементы оператора Â и сопряженного с ним оператора Â^† связаны соотношением

(A^†) (x, x') = A^* (x', x); (3.19)

g) произведение операторов может быть записано через их «матрицы» как

А теперь давайте переформулируем постулат квантовой механики об измерениях для случая непрерывного наблюдаемого. Предположим, что наблюдаемое измерено в квантовом состоянии |ψ⟩ с волновой функцией ⟨x|ψ⟩ = ψ(x). Каково распределение вероятностей для возможных результатов этого измерения? В разд. Б.4 мы ввели понятие плотности вероятности pr (x) непрерывной переменной, такой что вероятность обнаружения x в определенном интервале [x', x''] равна

Выразим pr (x) через ψ(x).

Согласно постулату об измерениях для дискретного случая, вероятность проецирования на какой-то конкретный элемент |𝑣_i⟩ базиса измерений равна |⟨𝑣_i|ψ⟩|². Для непрерывного случая это правило не годится, поскольку вероятность обнаружить частицу в точности в точке x бесконечно мала. Разумно, однако, сказать, что допустимая мера вероятности, связанная с координатой x, — плотность ее вероятности — должна быть пропорциональна |⟨x|ψ⟩|² = |ψ(x) |². Таким образом, мы имеем pr (x) ∝ |ψ(x)|².