Отличная квантовая механика

Задача 2.15. Проверка неравенства Белла, описанная в разд. 2.3, производится с дефектным запутанным состоянием, которое представляет собой статистическую смесь состояния |Ψ^—⟩ с вероятностью η и |Ψ⁺⟩ с вероятностью 1 — η. Каков диапазон величин η, для которых неравенство Белла нарушается?

Задача 2.16. Покажите, что телепортация будет работать не только с |Ψ^—⟩, но и с другими белловскими состояниями в качестве запутанного ресурса. Для каждого белловского состояния определите локальные операции, которые Бобу необходимо будет произвести на 𝕍₃ после получения классического послания от Алисы.

Задача 2.17. Протокол квантовой телепортации реализуется с состоянием в качестве запутанного ресурса вместо |Ψ^—⟩. Исходное состояние Алисы — |𝝌⟩ = α|H⟩ + β|V⟩. Определите:

a) состояние, в котором фотон Боба будет приготовлен в случае каждого из четырех возможных результатов измерения Алисы и Боба;

b) вероятность каждого результата.

Задача 2.18*. В квантовом повторителе, описанном в упр. 2.71, присутствует один из следующих дефектов:

a) прибор измерения в базисе Белла способен распознавать только состояния |Ψ^±⟩, но не |Φ^±⟩;

b) для каждого фотона, сохраненного в квантовой памяти, эффективность извлечения равна η_M = 0,75.

Для каждого случая найдите новое время t, необходимое для получения запутанности между ячейками памяти Алисы и Боба с вероятностью по крайней мере 1/2.

Глава 3. Одномерное движение

Оно не то чтоб Цыбин был с двойным натура дном:

Когда в натуре бездна, речи нет об дне двойном.

Теперь мы готовы ввести в квантовую механику собственно «механику». В этой главе мы изучим основы квантовой физики простейшей движущейся системы: точечной частицы с одной-единственной степенью свободы. Хотя на первый взгляд такая система может показаться чем-то вроде «сферического коня в вакууме», эта модель оказывается вполне релевантной для многих практических физических ситуаций, удивительно хорошо описывая их свойства. Более того, квантовая теория одномерного движения снабдит нас теоретическими инструментами для изучения в следующей главе более сложного трехмерного движения. Эту теорию можно непосредственно применить к движению электронов в атомах при расчете, скажем, атомных спектров излучения и поглощения. Затем эти спектры можно сравнить с результатами экспериментов, обеспечив таким образом базу для подтверждения или опровержения квантовой теории. Замечательное совпадение этих результатов стало основным фактором триумфа квантовой теории в начале XX в.

3.1. Непрерывные наблюдаемые

В классической механике одномерное движение описывается двумя каноническими переменными: координатой и импульсом. Соответственно, в квантовом варианте мы тоже вводим два наблюдаемых оператора: координату и импульс [74].

Хотя геометрическое пространство, содержащее интересующую нас частицу, одномерно, связанное с ним гильбертово пространство обладает бесконечной размерностью: существует бесконечное множество координатных собственных состояний |x⟩, и все эти собственные состояния ортогональны[75]. Более того, координатные собственные состояния образуют континуум: для каждого действительного значения x существует связанное с ним собственное состояние |x⟩. То же можно сказать и об импульсном наблюдаемом.

Мы знаем (см. упр. 1.30), что множество собственных состояний любого физического наблюдаемого образует ортонормальный базис. Координата и импульс — не исключение. Однако непрерывность этих наблюдаемых подразумевает, что бóльшая часть математических правил (разложение состояния и оператора, нормирование, преобразование базиса и т. п.), выведенных для гильбертовых пространств конечной размерности, нуждается в модификации: суммирование придется заменить интегрированием. Это и есть наша задача в данном разделе. Чтобы воспроизвести упомянутые правила в виде, близком к тому, что мы наблюдаем для дискретного случая, нам нужно определить специальное соглашение о нормировании для собственных состояний непрерывных наблюдаемых. Вместо нормирования этих состояний к единице, как мы сделали бы в дискретном случае, мы пишем:

⟨x | x'⟩ = δ (x — x'); (3.1a)

⟨p | p'⟩ = δ (p — p'). (3.1b)