Отличная квантовая механика

Задача 2.1. Преобразуйте квантовый протокол сверхплотного кодирования для случая, когда первоначально Алиса и Боб располагают состоянием |Ψ⁺⟩, |Φ⁺⟩ или |Φ^—⟩.

Задача 2.2. Для наблюдаемого где

выполните следующие расчеты.

a) Найдите матрицу в каноническом базисе {|HH⟩, |HV⟩, |VH⟩, |VV⟩}.

b) Найдите матрицу в базисе Белла.

c) Определите собственные состояния и собственные значения.

Подсказка: не нужно решать никаких уравнений.

d) Вычислите ожидаемую величину и неопределенность в белловском состоянии |Ψ^—⟩.

Задача 2.3. Два кубита взаимодействуют в соответствии с гамильтонианом

Начальное состояние кубитов |Ψ (0)⟩ = |HH⟩. Найдите |Ψ (t)⟩ в каноническом базисе.

Задача 2.4. Тензорное произведение гильбертова пространства фотонов Алисы и Боба эволюционирует в соответствии с гамильтонианом

a) Найдите матрицу 4 × 4 гамильтониана в каноническом базисе.

b) Найдите матрицу оператора эволюции

c) Чему равно конечное состояние системы после периода времени ωt = π/4, если начальное состояние есть произвольное разделимое состояние (a|H⟩ + b|V⟩) ⊗ (c|H⟩ + d|V⟩)?

Задача 2.5. Состояние Гринбергера — Хорна — Цайлингера

распределено между Алисой, Бобом и Чарли. Перепишите |Ψ_GHZ⟩:

• в базисе, который является каноническим в гильбертовом пространстве Алисы, диагональным в гильбертовом пространстве Боба и круговым в гильбертовом пространстве Чарли;

• в базисе, который является белловским у Алисы с Бобом и каноническим у Чарли.

Задача 2.6. Алиса и Боб имеют два общих фотона в состоянии поляризации

a) Алиса и Боб производят измерения каждый на своем фотоне. Найдите вероятности всех возможных результатов.

b) Только Алиса производит измерение поляризации на своем фотоне. Найдите вероятность каждого результата и удаленно приготовленное состояние фотона Боба после этого измерения. Примените каждую из двух альтернативных методик для решения данной задачи в каждом базисе:

• используйте частичное скалярное произведение;

• разложите начальное состояние в соответствии с (2.15).

c) Предположим, что Боб не знает результата Алисы. На основании части b) опишите состояние фотона Боба, которое образовалось после измерения Алисы, как ансамбль.

d) Убедитесь, что вероятности, найденные в частях a) и b), согласуются между собой.

Решите эту задачу для всех измерений, проведенных в (1) каноническом и (2) круговом базисах.

Задача 2.7. Алиса и Боб производят измерения над множеством копий некоторого двусоставного состояния |Ψ⟩ и обнаруживают следующее:

• если Алиса измеряет в диагональном базисе, то:

○ всякий раз, когда Алиса получает |+⟩, Боб получает |H⟩;

○ всякий раз, когда Алиса получает |—⟩, Боб получает |V⟩;

• если Алиса измеряет в каноническом базисе, то:

○ всякий раз, когда Алиса получает |H⟩, Боб получает |L⟩;

○ всякий раз, когда Алиса получает |V⟩, Боб получает |R⟩.

Чему равно |Ψ⟩?

Задача 2.8. Состояние Гринбергера — Хорна — Цайлингера распределено между Алисой, Бобом и Чарли. Алиса и Боб производят совместное измерение на своих фотонах. Чему для них равна вероятность обнаружить:

a) |Ψ^— ⟩,

b) |HR⟩,

c) |Θ⟩ = (3 |HH⟩ + 4 |VV⟩)/5

и на какое состояние спроецируется частица Чарли? Для каждого из вышеперечисленных состояний примите любой базис измерения, содержащий искомое состояние.

Задача 2.9. Алиса, Боб и Чарли располагают запутанным состоянием трех фотонов:

|Ψ⟩ = (3 |+ — +⟩ + 4 |— + —⟩)/5. (2.49)

Алиса и Боб измеряют свои фотоны в каноническом базисе. Алиса обнаруживает горизонтальную поляризацию, а Боб — вертикальную.

a) Какова вероятность этого события?

b) На какое состояние спроецируется фотон Чарли?

Задача 2.10. Видоизмените наблюдаемые таким образом, чтобы нарушить неравенство Белла для состояния, полученного при начальном состоянии |Ψ⁺⟩, |Φ⁺⟩ или |Φ^—⟩.

Задача 2.11. Воспроизведите рассуждения Гринбергера — Хорна — Цайлингера для и операторов

Задача 2.12. Измерение фон Неймана состояния поляризации фотона |ψ⟩ = α|H⟩ + β|V⟩ производится в диагональном базисе.

a) Напишите совместное состояние системы и прибора после измерения.

b) Дайте ансамблевое описание состояния фотона после измерения.

Задача 2.13. Фотон первоначально находится в состоянии |ψ⟩ = (3 |H⟩ + 4 |V⟩)/5. Опишите в виде ансамбля состояние этого фотона после его декогеренции в каждом из следующих предпочтительных для декогеренции базисов:

a) каноническом;

b) круговом.

Задача 2.14. Атом имеет два энергетических собственных состояния |𝑣₁⟩, |𝑣₂⟩ с собственными значениями 0 и 3ℏω соответственно, где ω > 0. Первоначально атом находится в состоянии |𝑣₁⟩. В момент t = 0 включается поле, которое делает гамильтониан равным где Атом испытывает декогеренцию, для которой собственный базис нового гамильтониана является предпочтительным. Напишите ансамбль, определяющий состояние атома после декогеренции.