Отличная квантовая механика

А что, если попробовать другую волновую функцию, например в форме прямоугольного импульса (3.9), которая принимает ненулевые значения только в пределах конечной пространственной области? Трудность с подобными волновыми функциями состоит в том, что в этом случае мы не можем применять приближения, которые использовали для гауссова волнового пакета (см. упр. 3.51). У гауссова волнового пакета есть свойство, позволяющее нам использовать эти аппроксимации, — его импульсное представление тоже гауссово и потому убывает экспоненциально по обе стороны от центральной точки. А состояния с пространственно ограниченными волновыми пакетами в импульсном представлении не ограничены по ширине: к примеру, результат Фурье-преобразования импульсной функции есть кардинальный синус sinc [упр. Г.9f)]. Это означает, что такое состояние будет иметь значительные компоненты, соответствующие сколь угодно высоким энергиям: не просто превышающим потенциальный барьер, но распространяющимся на релятивистские значения. Из этого следует, что математический аппарат нерелятивистской квантовой механики, которую мы изучаем, неприменим к этой задаче.

Завершая наше исследование потенциального барьера, давайте посмотрим, что происходит, если энергия частицы превышает величину барьера. Для общности будем считать, что V₀ может быть либо положительным, либо отрицательным, соответствуя случаям либо потенциального барьера, либо потенциальной ямы.

Упражнение 3.54. Выполните упр. 3.52 для E > 0 и E > V₀.

Ответ:

Упражнение 3.55. При каких условиях коэффициент пропускания в предыдущем упражнении равен единице?

Ответ:V₀ = 0 (т. е. k₀ = k₁) или k_lL = mπ, где m — положительное целое число.

Мы видим, что проницаемость потенциального барьера (или ямы, если V₀ < 0), демонстрирует осциллирующее поведение и принимает значение единицы, когда толщина барьера соответствует целому или полуцелому числу укладывающихся в него волн де Бройля. Этому опять же можно найти прямую аналогию в оптике: это оптический резонатор, известный также как эталон Фабри — Перо. В таком резонаторе оптическая волна заключена между двумя зеркалами, и множественные ее отражения интерферируют друг с другом. Если длина кольцевого маршрута волны в интерферометре составляет целое число длин волн  то интерференция становится конструктивной, а коэффициент пропускания резонатора по отношению к внешней волне принимает значение 1.

Мы видим также, что ширина каждого резонансного пика уменьшается вместе с k₁. Происходит это благодаря увеличению коэффициента отражения каждого «зеркала», который задается первой частью уравнений (3.78a) и (3.79b) для квантовой механики и оптики соответственно. Чем ближе этот коэффициент к единице, тем выше резкость эталона и острее пик резонанса.

3.8. Гармонический осциллятор

Гармонический осциллятор — это физическая система первостепенной важности, области применения которой выходят далеко за рамки чистой механики. Фактически любое колебательное движение управляется гамильтонианом, аналогичным гамильтониану механического гармонического осциллятора и, таким образом, имеет то же квантовое описание. Примеры осцилляторов включают в себя и электромагнитное поле, и колебательные контуры в электронике, и квазичастицы в твердом теле. Даже фотон, о котором мы много говорили в предыдущих двух главах, можно рассматривать как энергетическое собственное состояние квантового гармонического осциллятора, описывающее одну из гармоник светового поля.

Отступление 3.10. Классический гармонический осциллятор

На рис. a показан простейший гармонический осциллятор — «шарик на пружинке». Когда шарик выводится из положения равновесия x = 0, пружина, согласно закону Гука, действует на него с силой F = —κx, где κ — коэффициент жесткости пружины. Потенциальная энергия напряжения пружины в этом случае равна U (x) = κx²/2, что соответствует гамильтониану

Без воздействия внешних сил шарик подчиняется уравнениям движения

Это классическое движение осциллятора может быть представлено траекторией в фазовом пространстве, заданном импульсом и координатой, как показано в части b рисунка. Эта траектория имеет форму эллипса, в котором отношение полуосей имеет вид p_max = Mωx_max.

Упражнение 3.56. Убедитесь, что решение классических уравнений (3.84) движения гармонического осциллятора задается уравнениями (3.85).

3.8.1. Операторы уничтожения и рождения

Потенциал гармонического осциллятора — типичная потенциальная яма. Поэтому его собственные состояния являются связанными и невырожденными (см. упр. 3.46). Волновые функции этих состояний можно найти путем решения стационарного уравнения Шрёдингера (3.60) в координатном базисе. Однако гармонический осциллятор допускает особый, гораздо более элегантный теоретический подход. Чтобы получить его, для начала перемасштабируем наблюдаемые координаты и импульса и сделаем их более удобными для работы.