Отличная квантовая механика

Как же разрешить данное противоречие? Единственный способ сделать это — предположить, что n должно быть неотрицательным целым числом, так чтобы цепочка прервалась на n = 0. При этом

â|0⟩ = |zero⟩, (3.105)

Тогда (при условии, что состояние |n = 0⟩ существует) энергетические собственные состояния существуют только для неотрицательных n и образуют бесконечное множество с соответствующими собственными значениями энергии ℏω (n + 1/2).

Энергетические собственные состояния гармонического осциллятора называются состояниями Фока, или числовыми. Состояние |0⟩ называется вакуумным состоянием[84].

Упражнение 3.63. Выразите |n⟩ через |0⟩.

Ответ:

Упражнение 3.64. Вычислите волновые функции вакуумного состояния в координатном и импульсном представлениях.

Подсказка: используйте уравнения (3.94), (3.97) и (3.105).

Ответ:

Можно видеть, что как координата, так и импульс в вакуумном состоянии неопределенны. Это значит, что если мы приготовим наш «шарик на пружинке» в состоянии минимальной возможной энергии, а затем измерим его координату, то обнаружим отклонение от положения равновесия на случайную микроскопическую величину. Аналогично, если мы измерим его скорость, то обнаружим, что она микроскопически мала, но не равна нулю. Это квантовое явление известно как нулевые колебания (zero-point oscillations).

Приведенные выше волновые функции единственны с точностью до произвольного общего фазового множителя. Для вакуумного состояния мы по соглашению выбираем этот множитель так, чтобы получить действительную и положительно определенную волновую функцию в координатном базисе. Из этого автоматически следует, что волновая функция в импульсном базисе также действительна и положительна. Более того, как мы увидим далее, данное соглашение гарантирует, что волновые функции всех остальных фоковских состояний также действительны.

Найдя в явном виде волновую функцию вакуумного состояния, мы доказали ее существование и единственность — и, таким образом, автоматически доказали существование и единственность всех остальных фоковских состояний, ибо они получаются из вакуумного состояния при применении к нему оператора рождения.

Упражнение 3.65

a) Используя уравнение (3.106), вычислите волновые функции фоковских состояний |1⟩ и |2⟩.

b) ^* Покажите, что волновая функция произвольного фоковского состояния |n⟩ задана выражением

Особенностью гамильтониана гармонического осциллятора является то, что его энергетические уровни не только квантуются, но и эквидистантны. Расстояние ℏω между уровнями называется квантом энергии. Физически эквидистантная энергетическая структура означает, что, закачивая в гармонический осциллятор кванты одной и той же частоты, можно возбудить его до сколь угодно высокой энергии. Например, качели можно раскачать до любой желаемой амплитуды, подтягивая и подталкивая их с постоянной частотой; можно также усилить импульс лазера до любой желаемой мощности. Противоположный пример — атом: при помощи резонансного лазера его можно перевести из основного состояния в одно из собственных состояний с более высокой энергией, но увеличение мощности лазера едва ли поможет нам возбудить этот атом на более высокий энергетический уровень[85].

Кванты энергии часто интерпретируют как частицы, особенно в контексте обобщений гармонического осциллятора, упомянутых в начале этого раздела. Например, фотон есть квант энергии в оптическом импульсе (см. отступление 3.11), а фонон — квант энергии механических колебаний атомов в твердом теле.

Отступление 3.11. Что такое фотон?

В предыдущих двух главах мы обращались с фотоном как с частицей и обсуждали квантовые состояния, в которых он может быть обнаружен. Теперь же мы говорим, что фотон — это состояние моды электромагнитного гармонического осциллятора. Как можно примирить между собой эти точки зрения?

Упомянутые два подхода известны как первичное квантование и вторичное квантование (first/second quantization) соответственно. При первичном квантовании мы связываем с каждой частицей некоторое гильбертово пространство; элементы (векторы) этого пространства представляют собой различные состояния, в которых может находиться данная частица. Например, для единичного фотона гильбертово пространство образуют различные состояния поляризации.

При вторичном квантовании роли векторов состояния и гильбертовых пространств меняются. То, что мы называем базисом гильбертова пространства первичного квантования, при вторичном квантовании рассматривается как множество отдельных гильбертовых пространств. В частности, вертикальная и горизонтальная поляризационные моды рассматриваются как отдельные гильбертовы пространства. Фотон в состоянии |H⟩ в первичном квантовании записывается во вторичном как вектор состояния |1⟩_H ⊗ |0⟩_V. Фотон в состоянии |+45°⟩ становится запутанным состоянием