Отличная квантовая механика

Упражнение 3.70. Найдите разложение когерентного состояния |α⟩ в фоковском базисе.

Подсказка: возьмите некоторое разложение

и примените к нему определение (3.116) когерентного состояния.

Ответ: с точностью до общего фазового множителя

Здесь мы опять вводим соглашение об общей фазе, согласно которому общий фазовый множитель в уравнении (3.122) равен единице; т. е. мы объявляем ⟨n|α⟩ действительным для действительного α. Теперь нужно проверить, согласуется ли эта договоренность с той, что выбрана для фазы волновой функции когерентного состояния (3.117a).

Упражнение 3.71. Вычислите скалярное произведение ⟨0 |α⟩ для произвольного α в координатномтном и фоковском базисах. Убедитесь, что результаты одинаковы.

Если измерить энергию когерентного состояния, то вероятности возможных результатов распределятся в соответствии с

Разумеется, это знаменитое распределение Пуассона (см. разд. Б.3). Из его свойств (упр. Б.15) мы видим, что и среднее значение, и дисперсия фоковского числа в когерентном состоянии равны

⟨n⟩ = ⟨Δn₂⟩ = |α|₂. (3.124)

Это означает, например, что в последовательности лазерных импульсов с n фотонами в среднем на импульс среднеквадратичная неопределенность числа фотонов в импульсе равна

На самом деле нам совершенно необязательно знать свойства распределения Пуассона, чтобы получить последний результат. Он следует непосредственно из определения когерентного состояния.

Упражнение 3.72. Вычислите среднее значение и дисперсию оператора гамильтониана (3.102) в когерентном состоянии, пользуясь свойствами операторов рождения и уничтожения, и убедитесь, что ваш результат согласуется с (3.124).

Упражнение 3.73. Покажите, что действие оператора эволюции на состояние |α⟩ задается формулой

Упражнение 3.74. Вычислите квантовые средние значения:

a) операторов рождения и уничтожения;

b) операторов координаты и импульса в когерентном состоянии в зависимости от времени, используя (3.119) и (3.125). Убедитесь, что ваши результаты согласуются с (3.114) и (3.115).

Результат упр. 3.73 весьма замечателен. Если не принимать во внимание нефизичный квантовый фазовый множитель, когерентное состояние эволюционирует в другое когерентное состояние с той же амплитудой, но иной когерентной фазой, как показано на рис. 3.11. Это означает, что неопределенности координаты и импульса остаются постоянными и равны соответствующим величинам вакуумного состояния.

Данный результат вновь иллюстрирует разницу между квантовой и когерентной фазами. Квантовый фазовый множитель e^−iωt/2, стоящий вне символа «кет» в уравнении (3.125), не имеет физического эквивалента. Когерентная же фаза e^−iωt, имеющая наблюдаемый физический смысл, располагается внутри скобок.

Наконец, упр. 3.73 выявляет классическую аналогию когерентных состояний с большой амплитудой. Если амплитуда когерентного состояния макроскопична, то относительные неопределенности пренебрежимо малы, так что когерентное состояние хорошо аппроксимируется классическими колебаниями. Напротив, для микроскопических амплитуд неопределенности играют значительную роль, и классическое приближение не годится.

Упражнение 3.75. Покажите, что

Этот результат позволяет еще раз вспомнить уже сказанное, а именно — когерентные состояния, связанные с разными значениями α, не ортонормальны. Поскольку оператор уничтожения не является эрмитовым, спектральная теорема (упр. A.60), которая гласит, что множество собственных состояний эрмитова оператора представляет собой ортонормальный базис, к нему не применима. Когерентные состояния образуют остовный набор, но не являются ортогональными.

Упражнение 3.76. Когерентные состояния суть собственные состояния оператора уничтожения. Существуют ли их аналоги — собственные состояния оператора рождения — и если да, то каково их разложение в фоковском базисе?

3.9. Представление Гейзенберга

Нам уже не раз встречались случаи, в которых квантовая механика предсказывала поведение, ожидаемое классически. Примеры таких ситуаций — эволюция средних значений координаты и импульса в свободном пространстве или в потенциальном поле гармонического осциллятора. Подобные наблюдения, в принципе, неудивительны, поскольку мы знаем, что классическая картина соответствует макроскопическому пределу квантовой. Но в то же время теоретические и математические методы этих двух подходов настолько различны, что, даже когда они действительно приводят к сходным результатам, разобраться, что за этим сходством стоит, бывает трудно.