Отличная квантовая механика

Упражнение 3.87. Покажите, что оператор смещения унитарен и

Упражнение 3.88. Используя представление Шрёдингера, покажите, что:

b) если волновая функция состояния |ψ⟩ в координатном базисе есть ψ(x), то волновая функция состояния есть ψ(x — x₀) (рис. 3.12)[90];

Упражнение 3.89. Используя представления и Шрёдингера, и Гейзенберга, покажите, что применение оператора смещения координаты:

a) прибавляет x₀ к среднему значению координаты, но не меняет среднее значение импульса;

b) не меняет дисперсии координаты и импульса.

Упражнение 3.90. Покажите, что оператор смещения импульса обладает по отношению к импульсу свойствами, аналогичными тем, которыми оператор смещения координаты обладает по отношению к координате.

Упражнение 3.91. Состояние |ψ⟩ имеет волновую функцию ψ(x) в координатном базисе. Для заданных величин x₀ и p₀ найдите волновые функции следующих состояний в координатном базисе:

Волновые функции, полученные в частях b) и c), не одинаковы. Это означает, что результат последовательного приложения координатного и импульсного операторов смещения зависит от их порядка, так что данные операторы не коммутируют. Однако перестановка этих операторов сказывается лишь на общем фазовом множителе и, следовательно, не влияет на физику результирующего состояния. Как мы увидим далее, это следует из формулы Бейкера — Хаусдорфа — Кэмпбелла (A.54).

Упражнение 3.92. Для фазово-пространственного оператора смещения покажите, что

Данный результат подразумевает, что

и это согласуется с разницей между ответами в частях (b) и (c) упр. 3.91.

Упражнение 3.93. Напишите гамильтониан, который привел бы к эволюции, соответствующей фазово-пространственному оператору смещения. Найдите соответствующее преобразование операторов координаты и импульса в представлении Гейзенберга.

3.9.3. Эволюция плотностей вероятности*

Мы видели, что оператор координаты, эволюционируя под действием гамильтониана смещения, порождает оператор представляющий собой функцию первоначального Подобные ситуации встречаются относительно часто. Здесь мы попытаемся разобраться, можно ли в такой ситуации использовать информацию, полученную из представления Гейзенберга, чтобы предсказать эволюцию волновой функции в представлении Шрёдингера. В случае координатного смещения, например, соотношение достаточно прямолинейно (рис. 3.12). Но можем ли мы его обобщить?

В данном разделе мы, как обычно, считаем гамильтониан стационарным, т. е. не зависящим от времени.

Упражнение 3.94. Предположим, что в представлении Гейзенберга эволюция оператора под действием гамильтониана Ĥ преобразует его следующим образом:

где 𝑓(x, t) — действительная обратимая функция. Покажите, что в представлении Шрёдингера любое собственное состояние |x⟩ оператора с собственным значением x эволюционирует в собственное состояние этого же оператора с собственным значением 𝑓(x, t).

Этот результат можно записать математически как

где K (x, t) — некоторый коэффициент пропорциональности. В случае координатного смещения и координатных собственных состояний этот коэффициент равен единице, как в (3.146), но в общем случае это не так. Например, если рассмотреть действие координатного смещения на оператор импульса, то мы получим 𝑓(p,t₀) = p [см. (3.143b)], но как видно из (3.147).

Получается, таким образом, что возможности определить комплексный аргумент K (x, t) из эволюции в представлении Гейзенберга не существует. Однако мы можем определить его абсолютное значение, используя тот факт, что — унитарный оператор и, следовательно, правая часть уравнения (3.150) должна иметь ту же норму, что и |x⟩.

Упражнение 3.95. Покажите, что

где производная считается конечной и ненулевой.

Упражнение 3.96. Покажите, что в уравнении (3.150)

|K (x, t) |² = | 𝑓′ (x, t) |. (3.152)

Пусть, например, для некоторого t значение 𝑓(x, t) = 2x, так что эволюция «растягивает» наблюдаемое координаты вдвое. Тогда уравнение (3.151), как и можно ожидать, принимает вид и, следовательно, |K (x, t)|² = 2.

Упражнение 3.97. Основываясь на (3.150), покажите, что волновая функция ψ(x, t) произвольного состояния |ψ⟩ эволюционирует во времени согласно

ψ(x, t) = K^* (x, — t) ψ(𝑓(x, — t), 0). (3.153)

Располагая результатами двух последних упражнений, мы можем предсказать действие эволюции на абсолютную величину волновой функции наблюдаемого x. Прежде чем сделать это, исключим из (3.153) отрицательное время.

Упражнение 3.98. Покажите, что:

Упражнение 3.99. Объедините имеющиеся результаты и получите для эволюции плотности вероятности, связанной с волновой функцией ψ(x, t)