Отличная квантовая механика

Подсказка: по аналогии с упр. 3.100 введите фиктивный гамильтониан, такой, чтобы операторные преобразования левых частей приведенных уравнений можно было интерпретировать как их эволюцию под действием этого гамильтониана в представлении Гейзенберга.

Мы видим, что применение оператора фазового сдвига (или эволюции гармонического осциллятора) ведет к повороту фазового пространства по часовой стрелке на угол ϕ = ωt вокруг начала координат. Это повторяет полученный нами ранее результат (3.115) для эволюции средних значений координаты и импульса под действием гамильтониана гармонического осциллятора. Вспомним также, что мы получили последние два из приведенных выше уравнений, в неперемасштабированных переменных, когда вводили представление Гейзенберга в подразд. 3.9.1.

3.10.3. Сжатие

Оператор одноосцилляторного (одномодового) сжатия (squeezing) задается формулой

где параметр сжатия r — действительное число.

Упражнение 3.106§. Покажите, что оператор сжатия унитарен и

Ŝ_†(r) = Ŝ₋₁(r) = Ŝ(-r).

Подсказка: см. упр. 3.87.

Упражнение 3.107. Убедитесь, что оператор сжатия эквивалентен оператору эволюции под действием гамильтониана

за время t при r = γt. Покажите, что эта эволюция в представлении Гейзенберга преобразует операторы следующим образом:

Упражнение 3.108. Пусть для состояния |ψ⟩ среднеквадратичные неопределенности координаты и импульса равны соответственно. Покажите, что среднеквадратичные неопределенности этих же наблюдаемых для состояния Ŝ(r)|ψ⟩ равны и соответственно.

Данные результаты оправдывают название «оператор сжатия». Этот оператор «сжимает» координату и при этом «растягивает» импульс в e^r раз (рис. 3.13c). Такое одновременное противоположное действие на эти два наблюдаемых гарантирует, что произведение неопределенностей координаты и импульса останется неизменным, а потому принцип неопределенности не будет нарушен. В частности, когда оператор сжатия применяется к вакуумному или когерентному состоянию, произведение неопределенностей в результирующем состоянии соответствует минимальному значению (3.95), допускаемому теорией.

Применив оператор сжатия к вакуумному состоянию, мы получаем сжатое вакуумное состояние. Его замечательной особенностью является то, что амплитуда его нулевых колебаний по координате (при r > 0) или импульсу (при r < 0) меньше, чем эти же параметры у вакуумного состояния — состояния с минимальной возможной энергией, содержащее ноль квантов энергии. В оптической реализации гармонического осциллятора нулевые колебания проявляются в виде случайных флуктуаций электрического поля вокруг нуля. Так вот, в сжатом вакуумном состоянии этот шум ниже, чем при полностью выключенном свете!

А теперь зададим себе вопрос, как выглядит волновая функция сжатого вакуумного состояния Ŝ(r)|0⟩. Прямое вычисление этой функции в представлении Шрёдингера весьма трудоемко. Однако, принимая во внимание результаты нашего изучения представления Гейзенберга, несложно догадаться, что результат операции сжатия заключается в перемасштабировании по оси абсцисс и перенормировании волновой функции вакуумного состояния (3.107a):

Упражнение 3.109. Убедитесь, что волновые функции (3.175):

a) нормированы;

b) согласуются с (3.154).

Проверка, которую мы только что проделали, ничего не говорит нам о том, правильно ли мы угадали комплексную фазу волновых функций. Чтобы проверить, давайте просто подставим их в нестационарное уравнение Шрёдингера и убедимся в его непротиворечивости.

Упражнение 3.110. Убедитесь, что волновые функции (3.175) удовлетворяют уравнению Шрёдингера для гамильтониана (3.170) при r = γt.

Двухосцилляторный (двумодовый) оператор сжатия, действующий на два осциллятора, обозначаемые индексами A и B, задается формулой

где r — действительное число.

Упражнение 3.111

a) Убедитесь, что двумодовый оператор сжатия можно связать со следующим фиктивным гамильтонианом

b) Покажите, что двумодовое сжатие в представлении Гейзенберга соответствует следующему преобразованию операторов[91]:

c) Найдите математические ожидания и неопределенности наблюдаемых в двумодовом сжатом вакуумном состоянии Ŝ₂(r)|00⟩.

Ответ: все математические ожидания равны нулю. Среднеквадратичные отклонения равны

Упражнение 3.112. Путем подставления в нестационарное уравнение Шрёдингера убедитесь, что нормализованные волновые функции двумодового сжатого вакуумного состояния в базисах координаты и времени равны (рис. 3.14)

Упражнение 3.113. У наблюдателей Алисы и Боба есть две частицы в двухосцилляторном сжатом состоянии (3.186a).

a) Предположим, Алиса измеряет координату своей частицы и получает результат X_A. Какой станет волновая функция частицы Боба в координатном базисе? Чему равна при этом ее неопределенность по координате