Отличная квантовая механика

b) Предположим, Алиса измеряет импульс своей частицы и получает результат P_A. Какой станет волновая функция частицы Боба в импульсном базисе? Чему равна при этом ее неопределенность по импульсу

Ответ:

Уравнение (3.187) показывает замечательное свойство двумодового сжатого вакуума. Если мы измерим либо координату, либо импульс одного из двух осцилляторов, то будем знать соответствующее наблюдаемое другого осциллятора с неопределенностью меньшей, чем неопределенность вакуумного состояния (рис. 3.14). Иными словами, мы можем удаленно, по желанию, приготовить второй осциллятор в одном из двух состояний, для которых произведение неопределенностей координаты и импульса меньше минимума, разрешенного принципом неопределенности. Это нарушает локальный реализм в том же смысле, в каком его нарушает первоначальное состояние Эйнштейна — Подольского — Розена (подразд. 3.3.3).

Данное свойство двумодового сжатого вакуума, возникающее при любом значении параметра сжатия r (положительном или отрицательном), объясняется его запутанной природой. Это состояние относительно несложно приготовить экспериментально (отступление 3.13), поэтому оно является главным запутанным ресурсом в различных квантово-оптических информационных протоколах с непрерывными наблюдаемыми, основанных на электромагнитных осцилляторах.

Рассмотрим коротко двумодовое сжатое состояние в неперемасштабированных переменных. Какой будет его волновая функция и при каких обстоятельствах сможет оно служить примером ЭПР-парадокса?

Упражнение 3.114. У Алисы и Боба есть общее состояние с волновой функцией

где x_A и x_B — неперемасштабированные наблюдаемые координаты и импульса, а d и D — положительные константы.

a) Найдите множитель ζ, который перемасштабирует наблюдаемое координаты в соответствии с таким образом, что приведенная волновая функция принимает вид (3.186a). Покажите, что соответствующий коэффициент сжатия равен

b) Найдите соответствующий множитель перемасштабирования для наблюдаемого импульса, такого что

Наш результат означает, что двусоставный гауссов волновой пакет (3.188) демонстрирует запутанность при любой, сколь угодно малой степени корреляции между координатами двух частиц. Запутанность отсутствует только для d = D, т. е. когда это состояние становится явным образом разделимым:

Наша последная цель в обсуждении сжатия состоит в том, чтобы найти разложение в фоковском базисе для одномодового и двумодового сжатых состояний. Мы сначала проведем приблизительную оценку для малых r для иллюстрации принципа, а затем уже осуществим полный расчет.

Упражнение 3.115

a) Разложите одномодовый оператор сжатия в степенной ряд до первого порядка по r и примените его к вакуумному состоянию в представлении Шрёдингера в фоковском базисе. Покажите, что получится состояние, задаваемое формулой

Вычислите дисперсии координаты и импульса в этом состоянии и покажите, что они согласуются с результатом упр. 3.108.

b) Разложите двумодовый оператор сжатия в степенной ряд до первого порядка по r и примените его к двойному вакуумному состоянию |0, 0⟩. Покажите, что получающееся состояние задается формулой

Вычислите дисперсии наблюдаемых в таком состоянии и покажите, что их значения согласуются с (3.183) и (3.184).

Этот простой расчет позволяет нам увидеть характерные черты фоковской структуры сжатых состояний. Разложение двумодового оператора сжатия в ряд Тейлора содержит в себе различные степени операторов Это означает, что Ŝ₂(r) создает и разрушает энергетические кванты в двух осцилляторах строго парами, поэтому двумодовое сжатое состояние содержит только слагаемые с одинаковым числом квантов:

Аналогичным образом одномодовый оператор сжатия порождает и уничтожает кванты в осцилляторе строго парами, так что фоковское разложение одномодового сжатого состояния содержит только слагаемые с четным числом фотонов:

Ниже мы вычисляем коэффициенты C_m и D_n. Этот расчет — хорошая тренировка, но он относительно длинен, поэтому при первом прочтении его можно пропустить.

Упражнение 3.116*. Покажите, что

выполнив следующие шаги:

a) Вычислите скалярное произведение Ŝ(r)|0⟩ и когерентного состояния |α⟩ (с действительной амплитудой α), например, в координатном базисе.

Ответ:

b) Разложите когерентное состояние из левой части уравнения (3.192) в фоковском базисе, а экспоненту из правой части этого уравнения — в степенной ряд по α. Приравняйте слагаемые с равными степенями α в обеих частях и получите уравнение (3.191).

Отступление 3.13. Приготовление и измерение сжатых состояний