Отличная квантовая механика

Задача 3.21. Гармонический осциллятор, находящийся первоначально в вакуумном состоянии, эволюционировал под действием гамильтониана с действительным и положительным r, на протяжении времени t₀. Проведите следующие вычисления для получившегося состояния.

a) Найдите среднее значение и дисперсию обобщенного наблюдаемого квадратуры для произвольного угла θ.

b) Определите, какой угол ответствует максимальному сжатию.

c) Определите, чему равна дисперсия соответствующей квадратуры.

Выполните эти вычисления как для гамильтониана Ĥ₁, так и Ĥ₂.

Задача 3.22. Два гармонических осциллятора, находящиеся первоначально в вакуумном состоянии |0⟩ ⊗ |0⟩, взаимодействуют под действием гамильтониана

при действительном и положительном 𝝌.

a) Напишите дифференциальные уравнения для наблюдаемых координаты и импульса в представлении Гейзенберга.

b) Решите эти уравнения и получите выражения для и

c) Найдите математическое ожидание и дисперсию наблюдаемых в зависимости от времени t.

d) Для каких значений t наблюдается двумодовое сжатие, т. е. неопределенность ниже неопределенности вакуумного состояния в момент времени t = 0?

e) Найдите в фоковском базисе приближение первого порядка состояния, в которое эволюционирует двойной вакуум под действием гамильтониана Ĥ, в представлении Шрёдингера и в предположении 𝝌t/ℏ ≪ 1.

f) Найдите среднее квадратичное значение для этого состояния. Согласуется ли ваш результат с результатом части d)?

Глава 4. Момент импульса

Весь век вертясь вокруг своей оси, не знать ни азимута, ни аза

И, даже угадав орбиту, двигаться все же поперек.

4.1. Трехмерное движение

Теперь, когда мы разобрались в одномерной квантовой механике, пора вспомнить, что пространство, в котором мы живем, является трехмерным. Поэтому, чтобы дать квантово-теоретическое описание реальных физических объектов, таких как атомы, необходимо обобщить наши результаты на три измерения. Для этого мы говорим, что гильбертово пространство трехмерных состояний точечной частицы представляет собой тензорное произведение гильбертовых пространств, связанных с отдельными координатами:

𝕍_3D = 𝕍_x ⊗ 𝕍 _y ⊗ 𝕍_z. (4.1)

Трехмерные операторы координат и импульса — это векторы[94], компонентами которых являются координатные и импульсные наблюдаемые отдельных одномерных пространств[95]: Перестановочные отношения между компонентами наблюдаемых трехмерных координат и импульса выглядят так: То есть координата и импульс не коммутируют между собой в том и только том случае, когда принадлежат одному и тому же гильбертову пространству.

Под собственными состояниями векторных операторов мы понимаем одновременные собственные состояния их компонентов. Например, состояние удовлетворяет сразу трем уравнениям:

так что есть собственное состояние

Сразу хотелось бы подчеркнуть, что векторный оператор не является тензорным произведением операторов в смысле подразд. 2.1.3, а представляет собой набор из трех операторов. Это означает, к примеру, что, подействовав оператором на тензорное произведение собственных состояний координат мы будем иметь набор из трех состояний Если бы был тензорным произведением операторов, мы вместо этого получили бы единственное состояние

Как и в одномерном случае, волновая функция любого состояния |ψ⟩ задается формулой

Упражнение 4.1. Покажите, что:

a) произвольное состояние |ψ⟩ связано со своей волновой функцией (4.3) согласно

b) скалярное произведение двух состояний |ψ⟩ и |ϕ⟩ в 𝕍_3D задается формулой

Упражнение 4.2. Напишите трехмерную волну де Бройля, т. е. скалярное произведение состояний и

Ответ:

Теперь посмотрим на гамильтониан, управляющий движением в трехмерном пространстве. Как и при рассмотрении одномерного случая, одной из наших целей в данной главе будет поиск волновых функций энергетических собственных состояний для различных потенциалов.

Гамильтониан механического движения представляет собой сумму кинетической и потенциальной энергий. В трех измерениях он принимает вид

Наблюдаемое кинетической энергии в 𝕍_3D есть сумма кинетических энергий, соответствующих отдельным координатам. Если с потенциальной энергией дело обстоит так же, т. е. если можно разложить то мы сможем искать решения стационарного уравнения Шрёдингера среди разделимых состояний в соответствии с упр. 2.26 (c). Простой пример такой ситуации — случай свободного пространства при Действительно, трехмерная волна де Бройля (4.6), представляющая некоторое собственное состояние этого гамильтониана, есть произведение волн де Бройля для отдельных координат.

Упражнение 4.3. Покажите, что состояние является собственным состоянием оператора кинетической энергии с собственным значением

Еще один пример можно найти в следующем упражнении.