Отличная квантовая механика

b) Покажите, что состояние |ψ⟩ есть собственное состояние проекции момента импульса [111] на вектор направленный вдоль сферических углов θ, φ с собственным значением ℏ/2.

c) Покажите, что декартовы координаты вектора равны средним значениям наблюдаемых для соответствующего состояния |ψ⟩.

Подсказка: вспомните упр. 4.28.

Из упражнения 4.48 мы узнаем, что для каждого спинового состояния |ψ⟩ можно определить вектор, такой что спин в этом состоянии «указывает в направлении» этого вектора. Он называется вектором Блоха состояния |ψ⟩, а полное множество таких векторов называется сферой Блоха.

Упражнение 4.49. Объясните, почему аналогичное соответствие не может быть установлено для подпространств с моментом импульса

Упражнение 4.50§. Убедитесь, что собственные состояния операторов соотносятся с точками на сфере Блоха так, как показано на рис. 4.5.

Упражнение 4.51. Покажите, что любые два состояния, представленные противоположными точками на сфере Блоха, ортогональны.

Гильбертово пространство, связанное с частицей со спином представляет собой кубит. И в самом деле, его базис состоит из двух элементов: «спин-вверх» |↑⟩ и «спин-вниз» |↓⟩. Это означает, что мы можем установить однозначное соответствие (изоморфизм[112]) между состояниями спина и любого другого кубита — например, спиновое состояние α|↑⟩ + β|↓⟩ ставится в соответствие поляризационному α|H⟩ + β|V⟩. Тогда собственные состояния Ŝ_x будут отображаться на состояния диагональной поляризации |+⟩ и |—⟩, а собственные состояния Ŝ_y — на состояния круговой поляризации |R⟩ и |L⟩.

Исходя из сказанного, мы можем представить поляризационные состояния при помощи точек на сфере Блоха (рис. 4.5). Обратите внимание, что линейные поляризационные состояния |α⟩ = cos α |H⟩ + sin α |V⟩ (где α — угол поляризации) могут в то же время быть записаны в соответствии с (4.62) как (где θ — полярный угол на сфере Блоха). Это означает, что данный угол равен удвоенному углу поляризации. К примеру, как видно из рис. 4.5, состояния |H⟩ и |V⟩ разделены на сфере Блоха углом 180º, а состояния |H⟩ и |±⟩ — углом 90º.

Обратите внимание на разницу в логике нашей работы с операторами Паули и их собственными векторами при изучении поляризации фотона в главе 1 и спина в данной главе. В первом случае мы сначала ввели три поляризационных базиса, а затем в упр. 1.29 определили операторы Паули как наблюдаемые, связанные с этими базисами. Здесь же мы сначала в упр. 4.26 получили операторы Паули из физики момента импульса, а затем вычислили их собственные состояния.

Упражнение 4.52. Горизонтально поляризованный фотон проходит через:

a) полуволновую пластинку;

b) * четвертьволновую пластинку с оптической осью, ориентированной под углом α к горизонтали. Постройте траекторию получающихся поляризационных состояний на сфере Блоха для всех возможных значений α.

Подсказка: обратитесь к упр. 1.24. Часть b) может быть решена численно.

Отступление 4.4. Магнитный момент в магнитном поле: классическая физика

Предположим, что прямоугольная рамка размером a × b, по которой протекает ток I, помещается в магнитное поле ориентированное вдоль оси z. Нормаль к рамке располагается под углом α к оси z, как показано на рисунке. На каждую сторону рамки действует сила Ампера, которая в общем виде выражается так: — вектор длины этой стороны. Силы, действующие на стороны длиной a, скомпенсируют друг друга, а вот силы, действующие на стороны длиной b (величина их равна F_b = IbB), породят момент силы величиной τ = 2F_b × (a/2)sin α = IBab sinα = IBA α, где A — площадь рамки.

Магнитный момент носителем которого является рамка, представляет собой вектор величины

μ = Iab = IA, (4.64)

перпендикулярный плоскости рамки. Следовательно, момент силы, действующий на рамку, равен

В этом виде соотношение имеет достаточно общий характер и верно для рамок любой формы.

Каждый из проводников, на которые действуют магнитные силы, обладает вследствие этого потенциальной энергией. Вычислим полную потенциальную энергию рамки в зависимости от угла α, считая, что рамка может вращаться вокруг оси, совпадающей с одной из ее сторон длиной b, и что α = π/2 соответствует положению с нулевой энергией. Поворот рамки из этого положения в положение с другим α означает смещение другой стороны длиной b на расстояние ±a cos α в направлении y и совершение работы W = —F_ba cos α = —IBab cos α = —μB cos α. Следовательно, потенциальная энергия задается уравнением

Последнее выражение опять же не зависит от формы рамки или положения оси. Потенциальная энергия магнитного диполя в магнитном поле минимальна, когда диполь и поле коллинеарны.

В дополнение к току заряженные частицы, проходящие по рамке, несут с собой массу, так что их движение имеет момент импульса Магнитный момент пропорционален моменту импульса

где коэффициент пропорциональности есть гиромагнитное отношение (gyromagnetic ratio — см. также упр. 4.54).