b) Покажите, что состояние |ψ⟩ есть собственное состояние проекции момента импульса
c) Покажите, что декартовы координаты вектора
Подсказка:
вспомните упр. 4.28.Из упражнения 4.48 мы узнаем, что для каждого спинового состояния |ψ⟩ можно определить вектор, такой что спин в этом состоянии «указывает в направлении» этого вектора. Он называется
Упражнение 4.49.
Объясните, почему аналогичное соответствие не может быть установлено для подпространств с моментом импульсаУпражнение 4.50
§. Убедитесь, что собственные состояния операторовУпражнение 4.51.
Покажите, что любые два состояния, представленные противоположными точками на сфере Блоха, ортогональны.Гильбертово пространство, связанное с частицей со спином
Исходя из сказанного, мы можем представить поляризационные состояния при помощи точек на сфере Блоха (рис. 4.5). Обратите внимание, что линейные поляризационные состояния |α⟩ = cos α |
Обратите внимание на разницу в логике нашей работы с операторами Паули и их собственными векторами при изучении поляризации фотона в главе 1 и спина в данной главе. В первом случае мы сначала ввели три поляризационных базиса, а затем в упр. 1.29 определили операторы Паули как наблюдаемые, связанные с этими базисами. Здесь же мы сначала в упр. 4.26 получили операторы Паули из физики момента импульса, а затем вычислили их собственные состояния.
Упражнение 4.52.
Горизонтально поляризованный фотон проходит через:a) полуволновую пластинку;
b) * четвертьволновую пластинку с оптической осью, ориентированной под углом α к горизонтали. Постройте траекторию получающихся поляризационных состояний на сфере Блоха для всех возможных значений α.
Подсказка:
обратитесь к упр. 1.24. Часть b) может быть решена численно.Отступление 4.4.
Магнитный момент в магнитном поле: классическая физикаПредположим, что прямоугольная рамка размером
Магнитный момент
μ =
перпендикулярный плоскости рамки. Следовательно, момент силы, действующий на рамку, равен
В этом виде соотношение имеет достаточно общий характер и верно для рамок любой формы.
Каждый из проводников, на которые действуют магнитные силы, обладает вследствие этого потенциальной энергией. Вычислим полную потенциальную энергию рамки в зависимости от угла α, считая, что рамка может вращаться вокруг оси, совпадающей с одной из ее сторон длиной
Последнее выражение опять же не зависит от формы рамки или положения оси. Потенциальная энергия магнитного диполя в магнитном поле минимальна, когда диполь и поле коллинеарны.
В дополнение к току заряженные частицы, проходящие по рамке, несут с собой массу, так что их движение имеет момент импульса
где коэффициент пропорциональности есть