Отличная квантовая механика

Упражнение 4.57. Электрон, приготовленный в собственном состоянии компонента спина, ориентированного вдоль вектора с полярными координатами (θ, φ), с собственным значением проходит через прибор Штерна — Герлаха с вектором поля, ориентированным вдоль оси z. Чему равны вероятности того, что электрон окажется в каждой из двух точек на экране?

Упражнение 4.58. В приборе Штерна — Герлаха направления поля и его градиента могут быть разными. Какое из этих двух направлений определяет базис измерения?

Упражнение 4.59. Пучок частиц со спином s = 1 в собственном состоянии ŝ_x с нулевым собственным значением проходит сквозь прибор Штерна — Герлаха с вектором поля, направленным вдоль оси y. Сколько точек образуется на мишени и в какой пропорции поделятся частицы между этими точками?

Упражнение 4.60. Пучок электронов, приготовленных так, что их спины указывают в отрицательном z-направлении, проходит через прибор Штерна — Герлаха с вектором поля, ориентированным в плоскости x-z под углом θ₀ к оси z. В какой пропорции расщепится пучок?

4.6.3. Эволюция магнитных состояний

Из классической физики (отступление 4.4) мы знаем, что магнитный момент, помещенный в магнитное поле, будет прецессировать вокруг этого поля. Следует ли нам ожидать подобного эффекта и в квантовом мире? Чтобы ответить на вопрос, нам потребуется изучить эволюцию нашей квантовой системы под действием гамильтониана (4.66). Принимая во внимание (4.67), перепишем данный гамильтониан как

Обратите внимание, что мы обращаемся с макроскопическим магнитным полем как с классическим вектором, а не как с оператором.

Упражнение 4.61. Записав дифференциальное уравнение эволюции компонентов вектора момента импульса в представлении Гейзенберга, воспроизведите классический результат (4.68).

Мы видим, что в представлении Гейзенберга поведение квантового магнитного момента в поле аналогично классическому: он прецессирует вокруг поля с ларморовой частотой Ω_L = γB (рис. 4.8). Как мы знаем, если нас интересуют средние значения оператора вектора момента импульса, этот результат годится независимо от того, используем мы при расчетах представление Гейзенберга или Шрёдингера. Например, в случае частицы со спином 1/2 вектор Блоха [компонентами которого являются R_x,y,z = ⟨σ_x,y,z⟩, как показано в упр. 4.48, c)] эволюционирует в соответствии с

Этот важный результат наглядно демонстрирует полезность представления Гейзенберга: получить его в представлении Шрёдингера куда сложнее. Мы сделаем это в следующем упражнении для нескольких частных случаев.

Упражнение 4.62. Найдите эволюцию в представлении Шрёдингера спинового состояния свободного электрона под действием постоянного магнитного поля заданного следующими условиями:

a) начальное состояние представлено произвольной точкой (θ₀, φ₀) на сфере Блоха, а магнитное поле ориентировано вдоль оси z;

b) начальное состояние соответствует спину, указывающему вдоль оси z, а магнитное поле ориентировано вдоль оси y;

c) начальное состояние соответствует спину, указывающему вдоль оси z, а магнитное поле ориентировано вдоль вектора с полярными углами (θ₀, 0).

Представьте решение в матричном виде в каноническом базисе и в виде траекторий на сфере Блоха. Убедитесь, что ваш результат согласуется с (4.77). Для каждого ответа найдите соотношение вероятностей результатов, которое будет наблюдаться при измерении Штерна — Герлаха с магнитным полем, ориентированным в z-направлении.

Подсказка: родственную задачу см. в упр. 1.47.

Упражнение 4.63. Фотон и электрон приготовлены в запутанном состоянии

и распределены между Алисой и Бобом, которые используют их, чтобы осуществить квантовую телепортацию другого фотона в состоянии |𝝌⟩ = α|H⟩ + β|V⟩ на спин электрона Боба. С этой целью Алиса производит измерение Белла над своими двумя фотонами. Для каждого возможного результата этого измерения найдите направление и абсолютную величину магнитного поля которым Бобу нужно будет подействовать на свой электрон в течение заданного времени τ, чтобы привести его спин в состояние α|↑⟩ + β|↓⟩.

4.7. Магнитный резонанс

4.7.1. Вращающийся базис

Пусть частица со спином помещена в постоянное магнитное поле B₀, направленное вдоль оси z. Как говорилось ранее [упр. 4.55, b)], состояния |↑⟩ и |↓⟩ являются собственными состояниями гамильтониана с энергиями где Ω₀ = γD₀ есть частота Лармора[115], а γ — гиромагнитное отношение частицы. Наша цель в данном разделе состоит в том, чтобы изучить явления, которые возникают, если дополнительно приложить вдоль оси x относительно слабое магнитное поле, колеблющееся с частотой ω, близкой к Ω₀[116]:

Иными словами, мы хотели бы знать, что происходит, если это переменное поле близко к резонансу с двухуровневой системой, которую образуют состояния |↑⟩ и |↓⟩ (рис. 4.9).