Отличная квантовая механика

Упражнение 5.16. Покажите, что для заданного оператора плотности существует спектральное разложение вида[124]

Приведенное выше спектральное разложение, приводящее матрицу плотности к диагональному виду, полезно в нескольких отношениях. Оно может сразу же сообщить нам, например, чистым или смешанным является интересующее нас состояние (см. упражнение 5.18). Кроме того, отсутствие недиагональных элементов означает, что между разными элементами диагонализирующего базиса нет квантовой когерентности, а это, в свою очередь, означает, что состояние является вероятностной смесью этих элементов.

Упражнение 5.17. Найдите спектральное разложение операторов плотности в упр. 5.1.

Упражнение 5.18. Сколько ненулевых элементов может содержать диагонализированная матрица плотности чистого состояния?

Упражнение 5.19. Покажите, что оператор плотности неотрицателен.

А теперь определим аналог матрицы плотности для непрерывных базисов, к примеру, координатных и импульсных. Как говорилось в главе 3 [см. (3.13)], операторы в таких базисах представлены функциями двух переменных, а не матрицами. В частности, оператор плотности (5.1) представляется как

где ψ_i (x) — волновые функции компонентов статистического ансамбля.

Упражнение 5.20. Выразите оператор плотности состояния a |0⟩ + b |1⟩ гармонического осциллятора:

a) в базисе Фока;

b) в координатном базисе.

Упражнение 5.21. Для нормированного оператора плотности покажите, что:

a) не может быть унитарным ни для какого гильбертова пространства размерности больше единицы;

b) равенство верно в том и только том случае, если представляет чистое состояние.

Упражнение 5.22. Рассмотрим смесь состояний, которые и сами суть статистические ансамбли: состояние возникает с вероятностью p₁, — с вероятностью p₂ и т. д., причем Σ_i p_i = 1.

a) Покажите, что такой ансамбль описывается оператором плотности

b) Покажите, что этот ансамбль не может быть чистым, если по крайней мере один из его членов является смешанным.

5.1.3. Эволюция

Упражнение 5.23. Покажите, воспользовавшись уравнением Шрёдингера, что:

a) дифференциальное уравнение для эволюции матрицы плотности во времени есть

Дифференциальные уравнения для эволюции операторов плотности, такие как (5.7), часто называют основными кинетическими уравнениями (master equations).

Обратите внимание на противоположные знаки в (5.7) и (5.8) по сравнению с похожими на них (3.129) и (3.127) соответственно. Такая разница может показаться странной: почему эволюция матрицы плотности противоположна эволюции других операторов? Вот ответ: уравнения в разд. 3.9 записаны в представлении Гейзенберга, где мы считаем, что квантовые состояния стационарны, а операторы, соответствующие физическим наблюдаемым, эволюционируют. Здесь, напротив, мы работаем в представлении Шрёдингера, где эволюционируют состояния и, следовательно, матрица плотности, которая выражает состояние. Поэтому операторы наблюдаемых в разд. 3.9 и оператор плотности в этом разделе имеют разную природу, и нет никаких причин ожидать, что их эволюция будет описываться одними и теми же уравнениями.

Упражнение 5.24. Для состояния, которое в момент времени t = 0 представляет собой:

a) суперпозицию

b) статистическую смесь (|E₁⟩⟨E₁| + |E₂⟩⟨E₂|)/2

энергетических собственных состояний, напишите матрицу плотности в зависимости от времени в энергетическом собственном базисе.

Ответ:

Обобщая упр. 5.24, a), мы видим, что если ансамбль является статистической смесью энергетических собственных состояний, то его оператор плотности не меняется в ходе шрёдингеровой эволюции. Этот результат тоже может показаться удивительным. Мы уже усвоили, что состояния с энергией E в ходе эволюции приобретают квантовую фазу e^{—iEt/ ℏ}. Состояния, связанные с разными энергиями, должны приобретать разные фазы — так почему же мы не видим этого в ходе эволюции матрицы плотности?

Ответ состоит в том, что, когда мы имеем дело со статистической смесью состояний, их фазы нефизичны: их невозможно наблюдать при измерении. Смесь состояний |E₁⟩ и |E₂⟩ ведет себя в эксперименте точно так же, как смесь состояний Ранее уже говорилось (подразд. 5.1.1), что задача матрицы плотности — как можно более сжато описать физические свойства состояния. Два состояния с одинаковыми свойствами будут описываться одинаковой матрицей плотности.

Напротив, если мы имеем когерентную суперпозицию двух состояний с разными энергиями (упр. 5.24, b), то матрица плотности (а именно ее недиагональные элементы) действительно эволюционирует, отражая изменение физических свойств состояния со временем.

Упражнение 5.25. Для состояния, первоначально представляющего собой смесь |↑⟩ с вероятностью 3/4 и |↓⟩ с вероятностью 1/4, потренируйтесь находить эволюцию матрицы плотности в магнитном поле B, направленном вдоль оси x, с использованием трех разных методов: