Отличная квантовая механика

Чтобы сделать эту теорию чуть менее абстрактной, рассмотрим пару примеров.

Упражнение 5.40. Проведите следующие вычисления в условиях упр. 2.45.

a) В упомянутом упражнении мы нашли ансамбли, описывающие состояния фотона Боба, когда Алиса проводит свое измерение в каноническом и диагональном базисах. Для каждого из этих ансамблей найдите соответствующую матрицу плотности в каноническом базисе. Убедитесь, что матрица плотности не зависит от базиса Алисы.

b) Найдите приведенные матрицы плотности фотона Боба в каноническом базисе с использованием частичного следа. Убедитесь, что результат согласуется с результатом пункта a).

Упражнение 5.41. Для каждого из четырех белловских состояний найдите приведенный оператор плотности, связанный с кубитами Алисы и Боба.

Приведенный оператор плотности Боба должен быть одинаковым вне зависимости от того, какой базис выберет Алиса для своего измерения. Если бы это было не так, Алиса могла бы мгновенно передавать информацию Бобу, просто выбирая определенный базис или решая, выбросить ли свою часть состояния (см. упр. 2.43). Давайте покажем это строго на языке операторов плотности.

Упражнение 5.42. Покажите, что частичный след не зависит от выбора базиса Алисы, в котором он вычисляется.

Упражнение 5.43. Покажите, что имеет след 1, если — физическое состояние.

Упражнение 5.44. Пусть Алиса и Боб располагают двусоставным состоянием. Покажите, что:

a) если двусоставный ансамбль находится в чистом разделимом (незапутанном) состоянии, то приведенные операторы плотности и Алисы, и Боба также представляют собой чистые состояния;

b) приведенный оператор плотности запутанного состояния всегда представляет собой смешанное состояние.

Подсказка: воспользуйтесь уравнением (2.15).

Математический аппарат частичного следа позволяет нам воспроизвести предыдущий результат, описывающий действие измерения на матрицу плотности (упр. 5.35), но с более глубоким анализом измерения, при помощи модели фон Неймана.

Упражнение 5.45. Пусть начальное состояние квантовой системы описывается в некотором базисе {|𝑣_i⟩} оператором плотности (5.14). Производится измерение этой системы в том же базисе {|𝑣_i⟩}. Данное измерение запутывает систему с прибором согласно (2.33). Покажите, что если удалить прибор из этого запутанного состояния, то приведенная матрица плотности системы будет иметь только диагональные элементы, как в (5.15).

Этот результат имеет важные следствия для декогеренции, которая, согласно нашему обсуждению в подразд. 2.4.2, может быть интерпретирована как «ненамеренное» фон-неймановское измерение системы средой в предпочтительном для декогеренции базисе и их взаимному запутыванию. После потери информации о среде состояние системы будет описываться частичным следом матрицы плотности этого запутанного состояния. В результате матрица плотности системы (записанная в предпочтительном с точки зрения декогеренции базисе) потеряет недиагональные элементы. В разд. 5.5 мы рассмотрим несколько примеров этого процесса.

Нахождение частичного следа — необратимая операция: получить обратно из невозможно. Это математическая причина того, что декогеренция, в отличие от унитарной квантовой эволюции, представляет собой необратимый процесс.

5.4. Матрица плотности и вектор Блоха

В разделе 4.5 мы связали любое состояние кубита с вектором на сфере Блоха. Если физическая система, связанная с кубитом, представляет собой частицу со спином 1/2, то координаты блоховского вектора равны средним значениям соответствующих проекций момента импульса (упр. 4.48, c). Теперь я хотел бы расширить понятие блоховского вектора на матрицы плотности.

Это расширение вполне прямолинейно. Для любого ансамбля

вектор Блоха определяется как

где каждый — это блоховский вектор соответствующего состояния |ψ_i⟩. То есть блоховский вектор ансамбля есть взвешенное среднее его компонентов.

Упражнение 5.46. Покажите, что декартовы координаты блоховского вектора определяемого (5.20), равны средним значениям наблюдаемых в соответствующем состоянии

Подсказка: согласно (5.16), вам нужно показать, что

Упражнение 5.47§. Выразите вектор Блоха явно через элементы матрицы плотности

Ответ:

R_x = ⟨σ_x⟩ = ρ_↑↓ + ρ_↓↑; (5.22a)

R^y = ⟨σ^x⟩ = iρ_↑↓ — iρ_↓↑; (5.22b)

R^z = ⟨σ^x⟩ = ρ_↑↑ — ρ_↓↓. (5.22c)

Упражнение 5.48. Покажите, что:

a) длина блоховского вектора смешанного состояния меньше единицы;

b) блоховский вектор полностью смешанного состояния равен нулю.

Упражнение 5.49. Мы показали ранее [см. (4.77)], что блоховский вектор частицы со спином 1/2 в чистом состоянии прецессирует в магнитном поле таким же образом, как классический магнитный момент. Покажите, что этот результат применим также к состояниям, описываемым операторами плотности.