Отличная квантовая механика

Представление оператора в виде (A.38) называется спектральным разложением или диагонализацией (приведением к диагональному виду).

Упражнение A.61. Запишите матрицу оператора (A.38) в его собственном базисе.

Упражнение A.62. Покажите, что элементы собственного базиса оператора (в смысле упр. А. 60) представляют собой собственные векторы а соответствующие величины 𝑣_i — его собственные значения, т. е. для любого i

Упражнение A.63*§. Покажите, что спектральное разложение (необязательно с действительными собственными значениями) существует для любого оператора такого что (такие операторы называют нормальными).

Упражнение A.64. Найдите собственные значения и собственный базис оператора, связанного с поворотом плоскости двумерных геометрических векторов на угол ϕ (см. упр. A.41), но над полем комплексных чисел.

Упражнение A.65§. В трехмерном гильбертовом пространстве три оператора имеют следующие матрицы в ортонормальном базисе {|𝑣₁⟩, |𝑣₂⟩, |𝑣₃⟩}:

Покажите, что эти операторы эрмитовы. Найдите их собственные значения и собственные векторы.

Таким образом, мы обнаружили, что каждый эрмитов оператор имеет спектральное разложение. Но единственно ли спектральное разложение конкретного оператора? Ответ положительный при условии, что этот оператор не имеет вырожденных собственных значений (degenerate eigenvalues), т. е. собственных значений, связанных с двумя или более собственными векторами.

Упражнение A.66. Эрмитов оператор приводится к диагональному виду в ортонормальном базисе {|𝑣_i⟩}. Предположим, что существует вектор |ψ⟩, который является собственным вектором с собственным значением 𝑣, но не пропорционален никакому |𝑣_i⟩. Покажите, что это возможно, только если 𝑣 является вырожденным собственным значением а |ψ⟩ представляет собой линейную комбинацию элементов {|𝑣_i⟩}, соответствующих этому собственному значению.

Упражнение A.67. Покажите, что для эрмитова оператора собственные значения которого не вырождены:

a) собственный базис единственен с точностью до фазовых множителей;

b) любое множество, содержащее все линейно независимые нормированные собственные векторы оператора идентично собственному базису с точностью до фазовых множителей.

Последний результат имеет первостепенное значение, и мы будем широко им пользоваться на протяжении всего курса. Он обобщается также на гильбертовы пространства бесконечной размерности и даже на пространства, связанные с непрерывными наблюдаемыми. А теперь рассмотрим случай операторов с вырожденными собственными значениями.

Упражнение A.68. Найдите собственные значения оператора тождества и покажите, что они вырожденные. Приведите два различных примера собственного базиса этого оператора в двумерном гильбертовом пространстве.

Упражнение A.69. Покажите, что собственные векторы эрмитова оператора связанные с разными собственными значениями, ортогональны. Предположение о невырожденности собственных значений не применять.

Упражнение A.70. Предположим, собственное значение 𝑣 оператора вырождено. Покажите, что множество соответствующих ему собственных векторов образует линейное подпространство (см. определение A.8).

Упражнение A.71*

a) Покажите, что если для всех |ψ⟩, то

b) Покажите, что если ⟨ψ|Â|ψ⟩ — действительное число для всех |ψ⟩, то Â эрмитов.

Определение A.22. Говорят, что эрмитов оператор Â положителен (неотрицателен), если ⟨ψ|Â|ψ⟩ > 0 (⟨ψ|Â|ψ⟩ ≥ 0) для любого ненулевого вектора |ψ⟩.

Упражнение A.72. Покажите, что эрмитов оператор Â положителен (неотрицателен), если и только если все его собственные значения положительны (неотрицательны).

Упражнение A.73. Покажите, что сумма двух положительных (неотрицательных) операторов положительна (неотрицательна).

A.9. Коммутаторы

Как уже говорилось, не все операторы коммутируют. Степень некоммутативности количественно выражается оператором, известным как коммутатор.

Определение A.23. Для любых двух операторов коммутатор и антикоммутатор определяются соответственно следующими выражениями:

Упражнение A.74. Покажите, что:

При расчете коммутаторов для сложных выражений рекомендуется пользоваться соотношениями, выведенными в этом упражнении, а не определением (A.39, a) коммутатора. В книге имеется множество примеров того, насколько проще при этом становятся вычисления.

Упражнение A.75. Выразите коммутаторы:

через попарные коммутаторы операторов

Упражнение A.76. Для двух операторов предположим, что где c — комплексное число. Покажите, что

Упражнение A.77. Покажите, что если эрмитовы, то эрмитовы также

Упражнение A.78. Найдите коммутационные соотношения операторов Паули (1.7).

Ответ: