Отличная квантовая механика

где c — комплексное число. Докажите формулу Бейкера — Хаусдорфа — Кэмпбелла[138]

с использованием следующих шагов:

a) Покажите, что

Подсказка: используйте разложение в ряд Тейлора для экспоненты и (A.46).

b) Для произвольного числа λ и оператора покажите, что

c) Решите дифференциальное уравнение (A.56) и покажите, что

d) Докажите формулу Бейкера — Хаусдорфа — Кэмпбелла, используя (A.57).

Приложение Б. Вероятности и распределения

Б.1. Математическое ожидание и дисперсия

Определение Б.1. Предположим, что эксперимент (необязательно квантовый) по измерению величины Q может дать любой из N возможных результатов {Q_i} (1 ≤ i ≤ N) с соответствующими вероятностями pr_i. Тогда Q называют случайной величиной, а множество величин {pr_i} для всех значений i называют распределением вероятности. Математическое ожидание (матожидание, или среднее значение) Q равно

Упражнение Б.1. Найдите матожидание числа очков, которые выпадут на верхней грани игральной кости.

Определение Б.2.Среднеквадратическая дисперсия случайной величины Q равна

Среднеквадратичное стандартное отклонение, или неопределенность, величины Q равно

Если математическое ожидание показывает средний результат измерения, то статистическая неопределенность демонстрирует, на сколько в среднем результат конкретного измерения будет отличаться от матожидания (рис. Б.1).

Упражнение Б.2. Покажите, что для любой случайной величины Q

⟨ΔQ₂⟩ = ⟨Q₂⟩ − ⟨Q⟩₂. (Б.3)

Упражнение Б.3. Вычислите среднеквадратичное отклонение числа очков, которые выпадут на верхней грани игральной кости. Покажите в явном виде, что уравнения (Б.2) и (Б.3) дают один и тот же результат.

Упражнение Б.4. Две случайные переменные Q и R независимы, т. е. реализация одной из них не влияет на распределение вероятности другой (к примеру, кость и монета, бросаемые вместе). Покажите, что ⟨QR⟩ = ⟨Q⟩⟨R⟩. Верно ли это утверждение, если Q и R не являются независимыми?

Подсказка: независимость означает, что вероятность одновременного наступления событий Q_i и R_j равна для каждой пары (i, j), где есть вероятность i-го значения переменной Q, а — вероятность j-го значения R.

Упражнение Б.5. Предположим, что случайная переменная Q измеряется (к примеру, кидается кость) N раз. Рассмотрим случайную переменную которая представляет собой сумму N результатов. Покажите, что матожидание и дисперсия равны и соответственно.

Б.2. Условные вероятности

Условная вероятность pr_A|B есть вероятность некоторого события A при условии, что другое событие B точно произошло. Примеры:

• вероятность того, что число, выпавшее на кости, нечетное, если известно, что оно больше трех;

• вероятность того, что тест на ВИЧ у Алисы окажется положительным, при условии, что на самом деле она не инфицирована;

• вероятность того, что Боб играет в баскетбол, если известно, что он мужчина ростом 185 см;

• вероятность того, что завтра будет дождь, если известно, что сегодня дождь шел.

Вычислим условную вероятность в третьем примере. Событие A: «Боб играет в баскетбол». Событие B: «Боб — мужчина ростом 185 см». Условная вероятность в этом случае равна числу N (A & B) мужчин ростом 185 см, играющих в баскетбол, деленному на число N (B) мужчин такого роста (рис. Б.2 a).

Разделим числитель и знаменатель приведенной дроби на N — полное количество людей. Тогда в числителе мы будем иметь N (A & B)/N = pr_A&B — вероятность того, что случайно выбранный человек окажется мужчиной ростом 185 см, играющим в баскетбол, а в знаменателе N (B)/N = pr_B — вероятность того, что случайный человек окажется мужчиной ростом 185 см. Отсюда

Это общая формула вычисления условных вероятностей.

Упражнение Б.6. Предположим, что события B₁, …, B_n несовместимы и коллективно исчерпывающи, т. е. одно из них должно произойти, но никакие два не могут произойти одновременно (рис. Б.2 b). Покажите, что для любого другого события A

Этот результат известен как теорема полной вероятности.

Упражнение Б.7. Вероятность того, что конкретный ВИЧ-тест даст ложный положительный результат, равна

pr_{полож.|неинф.} = 0,05.

Вероятность ложного отрицательного результата равна нулю. Известно также, что из всех людей, сдающих этот анализ, доля действительно инфицированных составляет pr_инф. = 0,001.

a) Какова вероятность pr_{полож.&неинф.} того, что случайный человек, сдающий такой анализ, не инфицирован, но при этом получает ложный положительный результат?

b) Какова вероятность pr_полож. того, что случайный человек, сдающий такой анализ, получит положительный результат?