Отличная квантовая механика

Упражнение A.51. Найдите матрицу оператора Â из упр. A.48 в базисе {|𝑤₁⟩, |𝑤₂⟩}, таком что

a) используя нотацию Дирака, начав с результата упр. A.48, а затем выразив каждый бра- и кет-вектор в новом базисе;

b) используя (A.27).

Убедитесь, что результаты совпадают.

A.7. Сопряженные и самосопряженные операторы

Действие оператора Â на кет-вектор |c⟩ соответствует умножению квадратной матрицы Â на столбец, определяющий |c⟩. Результатом этой операции является новый столбец Â|c⟩.

Рассмотрим по аналогии операцию, в которой на строку, соответствующую бра-вектору ⟨b|, умножается справа квадратная матрица Â. В результате получится новая строка, соответствующая какому-то бра-вектору. Мы можем связать эту операцию с действием оператора Â на ⟨b| справа, что мы обозначаем в нотации Дирака как ⟨b|Â. Формальное определение данной операции выглядит так:

где A_ij и b_i суть, соответственно, матричные элементы Â и |b⟩ в ортонормальном базисе {|𝑣_i⟩}.

Упражнение A.52. Выведите следующие свойства операции, определяемой уравнением (A.29):

a) Â, действующий справа, есть линейный оператор в сопряженном пространстве;

b) ⟨a | b⟩⟨c| = ⟨a| (|b⟩⟨c|);

c) для векторов |a⟩ и |c⟩,

(⟨a|Â)|c⟩ = ⟨a|(Â|c⟩); (A.30)

d) вектор ⟨a|Â, определяемый (A.29), не зависит от базиса, в котором вычисляется матрица (A_ij).

Теперь рассмотрим следующую задачу. Предположим, у нас имеется оператор Â, отображающий кет-вектор |a⟩ на кет-вектор |b⟩: Â|a⟩ = |b⟩. Чему равен оператор Â^†, который, действуя справа, отображает бра-вектор ⟨a| на бра-вектор ⟨b|: ⟨a|Â^† = ⟨b|? Оказывается, этот оператор не совпадает с Â, но достаточно просто соотносится с ним.

Определение A.21. Оператор Â^† («A-dagger») называется сопряженным (эрмитово-сопряженным) c Â, если для любого вектора |a⟩

⟨a|Â_† = сопр(Â|a⟩). (A.31)

Если Â = Â^†, то оператор называют эрмитовым (Hermitian), или самосопряженным.

В отличие от бра- и кет-векторов, операторы и их сопряженные живут в одном и том же гильбертовом пространстве. Точнее, они живут как в бра-, так и в кет-пространстве — действуя на бра-векторы справа, а на кет-векторы слева. Обратите, однако, внимание: оператор не может действовать на бра-вектор слева или на кет-вектор справа.

Упражнение A.53. Покажите, что матрица Â^† связана с матрицей Â через транспонирование и комплексное сопряжение.

Упражнение A.54. Покажите, что для любого оператора

Упражнение A.55. Покажите, что операторы Паули (1.7) эрмитовы.

Упражнение A.56. Используя контрпример, покажите: если два оператора эрмитовы, это не гарантирует, что их произведение тоже будет эрмитовым.

Упражнение A.57. Покажите, что

(|c⟩⟨b|)^† = |b⟩⟨c|. (A.32)

Данное упражнение может навести на мысль, что оператор, сопряженный с данным, является обратным ему: если «прямой» оператор отображает |b⟩ на |c⟩, то сопряженный к нему делает обратное. Это не всегда так: как нам известно из определения внешнего произведения (A.20), оператор |b⟩⟨c|, действуя слева, отображает всё (не только |c⟩) на |b⟩, тогда как |c⟩⟨b| отображает всё на |c⟩. Однако существует важный класс операторов (так называемые унитарные операторы), для которого «обратный» действительно означает то же, что и «сопряженный». Мы поговорим об этих операторах подробно в разд. A.10.

Упражнение A.58. Покажите, что:

Можно сказать, что у каждого объекта в линейной алгебре есть сопряженный с ним объект. Для числа это комплексно сопряженное с ним число; для кет-вектора это бра-вектор (и наоборот); для оператора — сопряженный с ним оператор. Матрицы объекта и его сопряженного связаны посредством транспонирования и комплексного сопряжения.

Предположим, нам задано сложное выражение, состоящее из векторов и операторов, и от нас требуется найти сопряженное с ним выражение. Резюмируя (A.12), (A.32) и (A.35), мы получим следующий алгоритм:

a) поменять порядок всех произведений на обратный;

b) заменить все числа на комплексно сопряженные;

c) заменить все кет на бра, и наоборот;

d) заменить все операторы их сопряженными.

Пример:

Это правило можно использовать для получения следующего соотношения.

Упражнение A.59. Покажите, что

⟨ϕ|Â|ψ⟩ = ⟨ψ|Â^†|ϕ⟩_*. (A.37)

A.8. Спектральное разложение

Теперь давайте докажем важную теорему для эрмитовых операторов. Я буду считать, что вы знакомы с понятиями детерминанта, собственного значения (eigenvalue) и собственного вектора (eigenvector) матрицы, а также с методами их нахождения. Если это не так, рекомендую заглянуть в любой вводный текст по линейной алгебре.

Упражнение A.60*. Докажите спектральную теорему: для любого эрмитова оператора существует ортонормальный базис {|𝑣_i⟩} (мы будем называть его собственным базисом), такой что

где все 𝑣_i действительны.