Отличная квантовая механика

c) Был выбран случайный человек — Алиса, и она прошла этот тест. Ее результат оказался положительным. Какова вероятность того, что Алиса не инфицирована?

Подсказка: чтобы сделать задачу более наглядной, представьте себе город с населением в миллион человек. Сколько среди них инфицированных? Сколько неинфицированных? Сколько всего будет получено положительных результатов?

Б.3. Биномиальное распределение и распределение Пуассона

Упражнение Б.8. Монету бросают n раз. Найдите вероятность того, что орел выпадет k раз, а решка n — k раз:

a) для обычной монеты, т. е. если вероятность выпадения орла или решки при одиночном броске равна 1/2;

b) для несимметричной монеты с вероятностями выпадения орла и решки, равными p и 1 — p соответственно

Ответ:

Распределение вероятности, определяемое (Б.7), называется биномиальным распределением. Мы постоянно встречаем его в повседневной жизни, часто не осознавая этого. Вот несколько примеров.

Упражнение Б.9§.

a) В какой-то конкретный день в некоем городе родилось 20 детей. Какова вероятность того, что ровно девять из них — девочки?

b) Некий студент при тестировании дает правильные ответы в среднем на 3/4 вопросов. Какова вероятность того, что он правильно ответит на все 10 вопросов теста?

c) Некий политик пользуется поддержкой 60 % избирателей. Какова вероятность того, что он наберет больше 50 % на участке для голосования со 100 избирателями?

Упражнение Б.10. Найдите матожидание и дисперсию биномиального распределения (Б.7).

Ответ:

⟨k⟩ = np; ⟨Δk₂ = np(1− p). (Б.8)

Упражнение Б.11. В некотором большом городе рождается в среднем по 10 детей в день. Какова вероятность того, что в данный конкретный день родится 12 детей?

a) Если население города составляет 100 000 человек.

b) Если население города составляет 1 000 000 человек.

Подсказка: возможно, существует способ обойтись без вычисления 1 000 000!

Из приведенного упражнения мы видим, что в случае, когда p → 0 и n → ∞, но, при этом pn = const, вероятности в биномиальном распределении становятся зависимыми скорее от λ = pn, чем от p и n по отдельности. Это важное обобщение биномиального распределения известно как распределение Пуассона.

Упражнение Б.12. Покажите, что в пределе при p → 0 и n → ∞, но λ = pn = const, биномиальное распределение (Б.7) принимает вид

при помощи следующих шагов.

Упражнение Б.13. Найдите ответ для упр. Б.11 в пределе для бесконечно большого города.

Вот еще несколько примеров распределения Пуассона.

Упражнение Б.14§

a) Патрульный полицейский, дежуривший ночью на шоссе, подсчитал, что в среднем мимо него проезжает 60 машин в час. Какова вероятность того, что за конкретную минуту мимо этого полицейского проедет ровно одна машина?

b) Детектор космических лучей регистрирует в среднем 500 событий в секунду. Какова вероятность того, что число зарегистрированных им событий за конкретную секунду будет равно как раз 500?

c) Среднее число львов, которых видят охотники на однодневном сафари, равно трем. Какова вероятность того, что вы, поехав на такое сафари, не увидите ни одного льва?

Упражнение Б.15. Покажите, что и среднее значение, и дисперсия распределения Пуассона (Б.9) равны λ.

К примеру, в некоем городе в среднем рождается по 25 детей в день, так что λ = 25. Среднеквадратичное отклонение в этом случае т. е. в обычный день мы с гораздо большей вероятностью увидим 20 или 30 новорожденных, нежели 10 или 40 (рис. Б.3).

Хотя абсолютная неопределенность значения n увеличивается с ростом ⟨n⟩, относительная неопределенность снижается. В приведенном выше примере относительная неопределенность составляет 5/25 = 20 %. Но в городке поменьше, где ⟨n⟩ = 4, относительная неопределенность составит целых 2/4 = 50 %.

Б.4. Плотности вероятности

До сих пор мы изучали случайные переменные, которые могут принимать значения из некоторого дискретного множества, причем вероятность каждого значения конечна. Но что если мы имеем дело с непрерывной случайной переменной — к примеру, скоростью ветра, временем распада ядра радиоактивного атома или дальностью полета тела? В таких случаях не существует способа определить конечную величину вероятности для каждого конкретного значения Q. Вероятность того, что ядро атома распадется точно через 2 мс или скорость ветра составит точно 5 м/с, бесконечно мала.