Отличная квантовая механика

Доказательство для остальных состояний Белла проводится аналогично.

Решение для упражнения 2.7. Состояния Белла образуют остов, потому что четыре элемента канонического базиса могут быть выражены через эти состояния:

Поскольку размерность этого пространства тензорных произведений равна четырем, а также согласно упр. A.7, b), четыре состояния Белла образуют базис. Ортонормальность этого базиса можно проверить прямыми вычислениями, т. е.:

⟨Φ⁺|Φ⁺⟩ = (⟨HH|HH⟩ + ⟨HH|VV⟩ + ⟨VV|HH⟩ + ⟨VV|VV⟩)/2 = (1 + 0 + 0 + 1)/2 = 1;

⟨Φ⁺|Φ^—⟩ = (⟨HH|HH⟩ — ⟨HH|VV⟩ + ⟨VV|HH⟩ — ⟨VV|VV⟩)/2 = (1–0 + 0–1)/2 = 0

и т. д.

Решение для упражнения 2.8. Зная, что и (упр. 1.4), запишем

Мы видим, что изменение базиса отображает состояния |Φ⁺⟩ и |Ψ^—⟩ на самих себя, тогда как состояния |Φ^—⟩ и |Ψ⁺⟩ меняются местами.

Решение для упражнения 2.9. Используя равенства |θ⟩ = cos θ|H⟩ + sin θ|𝑣⟩ и |π/2 + θ⟩ = —sin θ|H⟩ + cos θ|𝑣⟩ (см. табл. 1.1), находим

Решение для упражнения 2.10

a) Вероятность обнаружить состояние |Ψ⟩ = |R⟩|–30°⟩ равна квадрату абсолютной величины скалярного произведения:

b) Аналогично

Решение для упражнения 2.11

a) Для канонического базиса запишем

Чтобы найти вероятности для измерения в диагональном базисе, разложим |Ψ⟩ по этому базису. Зная, что и запишем

Отсюда следует, что

pr_{+ +} = pr_— = cos²(ϕ/2)/2;

pr_{+ —} = pr_{— +} = sin²(ϕ/2)/2.

b) Состояние |Ψ⁺⟩ соответствует случаю ϕ = 0, состояние |Ψ^—⟩ — случаю ϕ = π. Их невозможно различить в каноническом базисе, поскольку оба случая дают одинаковые вероятности (Р2.5). Но в диагональном базисе эти состояния ведут себя по-разному: для |Ψ⁺⟩ проекции на |+ +⟩ и |— ⟩ возникают с вероятностями 1/2 каждая, а проекции на |+ —⟩ и |— +⟩ не возникают совсем, тогда как |Ψ^—⟩ проецируется только на |+ —⟩ и |— +⟩, но не на |+ +⟩ и |— ⟩. Следовательно, измерение в диагональном базисе сразу же позволит различить эти два состояния.

Решение для упражнения 2.12. Процедура измерения сложна, потому что базис измерения {|H—⟩, |H+⟩, |VR⟩, |VL⟩} не может быть записан как множество тензорных произведений элементов локальных базисов Алисы и Боба. Возможный способ разобраться с этим осложнением выглядит так.

• Сначала Алиса измеряет свой фотон в каноническом базисе и сообщает результат измерения Бобу по классическому каналу связи.

• Боб, получив сообщение от Алисы, устанавливает свой базис измерения на диагональный, если Алиса наблюдала |H⟩, и круговой, если Алиса наблюдала |V⟩. Затем он измеряет свой фотон в этом выбранном базисе.

Решение для упражнения 2.13. Для каждого элемента матрицы мы можем написать

Во втором из приведенных выше равенств мы использовали определение тензорного произведения операторов, в третьем — уравнение (2.4).

Решение для упражнения 2.14. Запишем оператор в матричном виде в каноническом базисе {|HH⟩, |HV⟩, |VH⟩, |VV⟩}. Воспользовавшись (2.8), получаем:

Далее,

Для математического ожидания находим

Неопределенность можно найти через (Б.3). Опять же можно провести полный матричный расчет, но проще, пожалуй, заметить, что квадрат любой матрицы Паули представляет собой оператор тождества и, таким образом,

Отсюда следует, что среднеквадратичное отклонение равно

Решение для упражнения 2.16. Выберем произвольное разделимое состояние |ab⟩ ∈ 𝕍_A ⊗ 𝕍_B и применим определение тензорного произведения операторов:

Мы видим, что операторы и действуют на каждое разделимое состояние в 𝕍_A ⊗ 𝕍_B одинаково. Поскольку это линейные операторы, то же можно сказать и о запутанных состояниях, которые представляют собой линейные комбинации разделимых состояний. Это означает, что два оператора идентичны.

Решение для упражнения 2.18. Для произвольных |a⟩ ∈ 𝕍_A и |b⟩ ∈ 𝕍_B мы опять воспользуемся определением тензорного произведения операторов и запишем:

Мы видим, что операторы в левой и правой частях уравнения (2.9) отображают любое разделимое состояние одинаково, из чего следует идентичность этих двух операторов.

Решение для упражнения 2.19. Предположим, что клонирование возможно — т. е. существует линейный оператор Û, который производит клонирование любого состояния |a⟩ в соответствии с уравнением (2.10). Применив это уравнение к двум ортогональным состояниям |a₁⟩ и |a₂⟩ и их линейной суперпозиции, получим

Однако, складывая (Р2.6) и (Р2.7) и используя линейность Û, находим

что противоречит уравнению (Р2.8).

Решение для упражнения 2.20. По определению, если тензорное произведение операторов действует на разделимое состояние |ab⟩, оно порождает состояние Его сопряженное (см. опр. A.21) должно, таким образом, удовлетворять выражению

Но, согласно определению (2.11), сопряженным к тензорному произведению состояний является состояние