Отличная квантовая механика

Решение для упражнения 2.44. Если бы клонирование было возможно, Алиса и Боб могли бы реализовать следующий протокол. В начале у них общее запутанное состояние, например |Ψ^—⟩. Когда Алисе нужно отправить Бобу сообщение, она зашифровывает его в величину угла θ между 0 и а затем измеряет свой фотон в базисе мгновенно приготавливая таким образом одно из этих двух состояний в локации Боба. Боб делает множество копий этого состояния и производит над ними квантовую томографию (см. подразд. 1.4.2), определяя таким образом угол поляризации своего удаленно приготовленного фотона со сколь угодно высокой точностью. Несмотря на то что этот угол может быть равен либо θ, либо из него можно определить θ, так как о нем известно, что он лежит между 0 и После этого Боб расшифровывает данную величину и получает из нее первоначальное сообщение Алисы.

Решение для упражнения 2.45. Если Алиса измерила свой фотон в каноническом базисе, то получившиеся в результате ненормированные состояния для Боба окажутся следующими:

Соответственно, ансамблевое описание фотона Боба станет таким: «либо |H⟩ с вероятностью 1/5, либо |V⟩ с вероятностью 4/5».

Это состояние описывается как ансамбль «либо |+⟩ с вероятностью 2/3, либо |H⟩ с вероятностью 1/3».

Обратите внимание, что Алиса, когда проецирует на |H⟩, не разрушает когерентность между |H⟩ и |H⟩ Боба. Это можно увидеть также, если переписать начальное состояние как

Для диагонального базиса:

Решение для упражнения 2.46. Пусть

(поскольку, например, для заданного λ_A значения, которые может принимать M_A, это либо +1, либо –1), находим

Получим теперь первое слагаемое в (2.26) из первого члена в (2.24); остальные члены вычисляются аналогично. Имеет место равенство:

Решение для упражнения 2.47. Уравнение (2.26) может быть переписано как ⟨S⟩ = ⟨M_A(M_B — N_B) + N_A(M_B + N_B)⟩. Рассмотрим любое возможное множество значений для {M_A, M_B, N_A, N_B}, демонстрируемых на экранах на рис. 2.3 в единичном событии. Поскольку и M_B, и N_B имеют значения +1 или –1, то либо (M_B — N_B), либо (M_B + N_B) должно быть равно нулю. Так как и M_A, и N_A равны +1 или –1, мы находим, что значение S для этого события должно равняться либо +2, либо –2. Усредняя по всем событиям, что эквивалентно усреднению по распределению вероятностей получаем |⟨S⟩| ≤ 2. Это и есть неравенство Белла.

Решение для упражнения 2.48. Находим

Решение для упражнения 2.49

a) Чтобы определить сначала вычислим (поскольку и обитают в разных линейных пространствах, они коммутируют между собой, поэтому мы можем применять их в любом порядке). Оператор действует на фотон Алисы, оставляя горизонтальную поляризацию неизменной, но домножая состояние вертикальной поляризации на –1:

Разумеется, те же вычисления можно было бы провести в матричном виде, как в упр. 2.14.

b) Второй элемент матрицы находится аналогичным образом:

c) Третий и четвертый элементы матрицы тоже можно было бы найти путем прямых вычислений. Однако этих расчетов удастся избежать, если вспомнить, что состояние |Ψ^—⟩ изотропно. Если и Алиса, и Боб повернут свои системы отсчета на угол π/8, состояние |Ψ^—⟩ не изменится, оператор в пространстве Алисы превратится в а оператор в пространстве Боба станет . Таким образом, в новой системе отсчета нам нужно вычислить матожидание оператора Поскольку состояние |Ψ^—⟩ антисимметрично по отношению к обмену Алисы на Боба местами, искомое матожидание равно матожиданию определенному в части (a), т. е.

d) Если мы повернем системы отсчета Алисы и Боба на π/4, операторы и станут и соответственно. Искомое матожидание опять же равно

Решение для упражнения 2.51. Поскольку мы играем роль «адвоката дьявола», то можем делать любые предположения относительно работы источника единичных частиц, несомой этими частицами информации и способа, посредством которого приборы Алисы и Боба ее интерпретируют, — если только наши допущения не противоречат локальному реализму. Предположим поэтому, что каждая частица несет с собой два бита информации о том:

• при нажатии наблюдателем какой кнопки — M или N — получивший эту частицу прибор должен показать какое-либо значение;

• какое значение — +1 или –1 — должен показывать прибор в случае, если нажатая наблюдателем кнопка соответствует первому биту.

Источник назначает первые биты для каждой пары частиц случайным образом. Вторая пара битов выбирается тоже случайно, но с соблюдением следующих условий:

• если первые биты частиц и у Алисы, и у Боба равны M, то вторая пара битов должна демонстрировать среднюю корреляцию

• если первый бит частицы у Алисы равен M, а у Боба N, то вторая пара битов должна демонстрировать среднюю корреляцию

• если первый бит частицы у Алисы равен N, а у Боба M, то вторая пара битов должна демонстрировать среднюю корреляцию