Отличная квантовая механика

a) Согласно закону Бугера — Ламберта — Бера (подразд. 1.6.2) вероятность для каждого фотона добраться до анализатора базиса Белла равна e_−βL/2k. Тогда вероятность того, что до него доберутся оба фотона, равна pr₁ = (e_−βL/2k)₂ = e_−βL/k = 0,082.

Чтобы найти вероятность успеха после n попыток, заметим, что вероятность неудачи после одной попытки равна 1 — pr₁ и, следовательно, вероятность неудачи всех n попыток равна (1 — pr₁)ⁿ. Отсюда вероятность того, что хотя бы одна из n попыток не обернется неудачей, равна pr_n = 1–(1–pr₁)ⁿ = 1–(1–e^−βL/k)ⁿ.

b) Здесь событие, вероятность которого равна pr_n, должно произойти одновременно в k звеньях. Вероятность этого такова:

c) Решив уравнение мы находим для требуемого числа попыток:

Следовательно, необходимое время равно n/𝑓 = 31,6 мкс.

d) Вероятность того, что единичный фотон, посланный непосредственно от Алисы, достигнет Боба, равна  Тогда вероятность успеха для n' попыток — Установив получаем

так что ожидаемое время t' = n'/𝑓 = 50 000 с.

Глава Р3. Решения к упражнениям главы 3

Решение для упражнения 3.1.

a) Вычисляем правую сторону уравнения (3.4), используя разложение (3.2):

b) Подействуем оператором на произвольное состояние |ψ⟩. В соответствии со свойствами внешнего произведения получим

Видим, что оператор Î, действуя на любое состояние, дает его же, следовательно, Î — единичный оператор.

c) Вставляем единичный оператор (3.5) в ⟨ψ₁|ψ₂⟩:

Решение для упражнения 3.2. Применив уравнение (3.6), находим, что

Левая сторона этого уравнения равна единице, поскольку |ψ⟩ — физическое состояние.

Решение для упражнения 3.3

a) Интегрируя квадрат абсолютной величины волновой функции над осью действительных чисел, получаем

и, таким образом,

b) Используя (Б.17) и считая A действительным, находим

Решение для упражнения 3.4. Согласно (3.4), волновая функция состояния |x₀⟩ равна

⟨x | x₀⟩ = δ (x — x₀).

Решение для упражнения 3.5. В соответствии с определением (3.11) непрерывного наблюдаемого

Решение для упражнения 3.6

a) Вставим единичный оператор (3.5) по обе стороны Â:

b) Используя определение функции оператора с непрерывным базисом (3.12), находим

c) Воспользовавшись (3.14), получаем

e) Подобным же образом

f) В соответствии со свойствами сопряженных операторов (см. упр. A.59)

(A^†)(x,x′) = ⟨x|Â^†|x′⟩ = ⟨x′|Â|x⟩^* = A^*(x′,x).

g) Вставив единичный оператор между Â и находим

Решение для упражнения 3.7. Воспользовавшись (3.15) для 𝑓(x) ≡ x, находим

где pr(x) — плотность вероятности. Последнее выражение, согласно (Б.13), дает среднее значение непрерывного наблюдаемого.

Решение для упражнения 3.8. Необходимо показать, что функция (3.25) периодическая с периодом λ_dB. Это действительно так, поскольку

Решение для упражнения 3.9

a) Если автомобиль весом тонну движется со скоростью 20 м/с (72 км/ч), его импульс равен p = 2 × 10⁴ кг×м/с. Воспользовавшись табличным значением 2πℏ = 6,6 × 10^–34 м²×кг/с, находим, что длина волны де Бройля λ равна 2πℏ/p = 3,3 × 10^–38 м.

b) Средняя скорость поступательного движения молекул газа а их импульс где k_B = 1,38 × 10^–23 Дж/К — постоянная Больцмана, T = 300 K — комнатная температура и m = M/N_A = 4,7 × 10^–26 кг — средняя молекулярная масса (здесь M = 0,028 кг/моль — молярная масса воздуха, а N_A = 6 × 10²³ — число Авогадро). Находим p = 2,4 × 10^–23 кг×м/с, следовательно, λ = 2,7 × 10^–11 м.

c) Кинетическая энергия электрона равна p²/2M = eU, где M = 9,1 × 10^–31 кг — масса электрона, e = 1,6 × 10^–19 Кл — заряд электрона, а U = 10⁵ В — ускоряющее напряжение. Находим, что p = 1,7 × 10^–22 кг×м/с, а λ = 3,9 × 10^–12 м. Поскольку длина волны де Бройля электрона намного меньше длины световой волны, электронный микроскоп дает значительно более высокое разрешение, чем оптический.

d) По аналогии с пунктом b) находим, что масса m атомов рубидия равна 0,085/(6 × 10²³) кг = 1,5 × 10^–25 кг, а их импульс Длина волны де Бройля равна 8,3 × 10^–7 м = 0,86 мкм. Такая длина волны сравнима с расстоянием между атомами в конденсате, что приводит к квантовым эффектам при взаимодействии между атомами.

Решение для упражнения 3.10. Воспользовавшись разложением (3.5) единичного оператора, запишем:

Уравнение (3.27b) доказывается аналогично.

Решение для упражнения 3.11. Согласно (3.6),

Решение для упражнения 3.13. Чтобы совершить переход между координатным и импульсным базисами, мы применим обычный прием — вставим разложение единичного оператора:

Решение для упражнения 3.15

Решение для упражнения 3.16. Вспомним, что вероятность обнаружить определенное значение импульса равна