Отличная квантовая механика

Выражение в квадратных скобках — это обратное преобразование Фурье, что неудивительно, ведь мы переходим от волночислового к координатному базису. Первая экспонента в приведенном интеграле — линейный фазовый множитель, который после преобразования Фурье переводится, согласно (Г.14), в сдвиг координаты на a + ℏk₀t/M — движение волнового пакета. Вторая экспонента — это функция Гаусса, Фурье-образом которой также является гауссова функция. Следовательно, результирующая волновая функция

c) Сначала вычислим плотность вероятности, принимая во внимание комплексность гауссовой экспоненты в уравнении (Р3.9). Находим:

Это распределение Гаусса с центром в и шириной Чтобы определить дисперсию координаты, воспользуемся упр. Б.18:

Решение для упражнения 3.30

a) В соответствии с уравнением (Р3.10), ширина гауссова волнового пакета растет при большом t согласно

Мы можем переписать это как Подставив d = 10₋₁₀ м и M ≈ 10₋₃₀ кг, найдем t ≈ 1 нс.

b) Для M ≈ 10₋₃ кг имеем t ≈ 10¹⁸ с, т. е. порядка возраста Вселенной.

c) Согласно уравнению (Р3.10), искомое время удовлетворяет ℏt/Md₂ ≈ 1, так что t ∼ 1 с.

Решение для упражнения 3.31. Условие, что p₀ много больше неопределенности импульса начального волнового пакета, означает в соответствии с упр. 3.25, что p₀ ≫ ℏ/d. Иными словами, пройденное расстояние p₀t/M много больше, чем ℏt/Md, т. е. оно много больше, чем в соответствии с уравнением (Р3.11).

Решение для упражнения 3.32. Перепишем стационарное уравнение Шрёдингера

в координатном базисе:

и воспользуемся результатом упр. 3.22:

Решение для упражнения 3.33. Мы можем переписать стационарное уравнение Шрёдингера (3.60) как

где не зависит от x. У этого дифференциального уравнения второго порядка два линейно независимых решения:

ψ(x) = Ae_kx + Be_—kx. (Р3.13)

Множитель κ действителен только в том случае, если E < V₀, т. е. полная энергия ниже уровня потенциальной. В противном случае κ становится мнимым, и (Р3.13) принимает вид волны де Бройля

ψ(x) = Ae_ikx + Be_—ikx, (Р3.14)

где — это действительное волновое число.

Решение для упражнения 3.34. Рассмотрим оператор Ĥ — V_min, где V_min — минимальное значение V(x). Этот оператор — оператор энергии (3.55) — представляет собой сумму двух неотрицательных функций и импульса и координаты соответственно и, следовательно, тоже неотрицателен (упр. A.73, A.87). Такой оператор не может иметь отрицательных собственных значений (упр. A.72). А значит, у оператора Ĥ нет собственных значений, меньших V_min.

Решение для упражнения 3.35. Обратимся вновь к уравнению (Р3.12). Если и V(x), и ψ(x) конечны при любых x, то конечна и правая часть этого уравнения. Это означает, что d²ψ(x)/dx² тоже конечно при любых x. Такой вывод подразумевает, в свою очередь, что первая производная волновой функции непрерывна при всех x. Следовательно, ψ(x) тоже должна быть непрерывна при всех x.

Решение для упражнения 3.36. Предположим, что у некоторого гамильтониана существует собственное состояние |ψ⟩ с собственным значением E, которое не может быть выражено в виде линейной комбинации собственных состояний с действительными волновыми функциями. Запишем волновую функцию этого состояния как сумму действительной и мнимой частей: ψ(x) = ψ₁(x) + iψ₂(x), где ψ_1,2(x) ∈ R. Тогда стационарное уравнение Шрёдингера (3.60) принимает вид:

Это уравнение удовлетворяется, потому что |ψ⟩ — собственное состояние гамильтониана с собственным значением E. Взяв действительные и мнимые части обеих сторон этого уравнения, находим, что и ψ₁(x), и ψ₂(x) удовлетворяют ему, поэтому соответствующие состояния |ψ₁⟩ и |ψ₂⟩ также являются собственными состояниями Ĥ с собственным значением E. А значит, состояние |ψ⟩ можно выразить как линейную комбинацию |ψ⟩ = |ψ₁⟩ + i|ψ₂⟩ энергетических собственных состояний с действительными собственными значениями. Получено противоречие.

Решение для упражнения 3.37. Аргументация аналогична предыдущему упражнению. Рассмотрим энергетическое собственное состояние |ψ⟩ с собственным значением E и волновой функцией ψ(x). Если ψ(x) удовлетворяет стационарному уравнению Шрёдингера с четным потенциалом, то ψ(—x) также удовлетворяет ему. Чтобы убедиться в этом, заменим x на — x в стационарном уравнении Шрёдингера (3.60):

Поскольку наш потенциал четный, V(—x) = V(x). Кроме того, вторая производная имеет свойство Следовательно, приведенное уравнение можно переписать как

так что состояние |ψ^—⟩ с волновой функцией ψ(—x) тоже является собственным состоянием данного гамильтониана.

Это означает, что состояния |ψ_1,2⟩ = |ψ⟩ ± |ψ^—⟩ также собственные состояния гамильтониана с той же энергией. Более того, |ψ₁⟩ имеет четную волновую функцию, а |ψ₂⟩ — нечетную. Поэтому состояние |ψ⟩ можно выразить в виде следующей линейной их комбинации: