Отличная квантовая механика

• если первые биты частиц и у Алисы, и у Боба равны N, то вторая пара битов должна демонстрировать среднюю корреляцию

Таким способом каждый прибор покажет какое-либо значение в половине всех событий. Если отзываются оба прибора, корреляция между их ответами будет подобна той, что наблюдается в квантовом случае (упр. 2.49), нарушая таким образом неравенство Белла.

Решение для упражнения 2.52. Для событий, при которых детекторы на станциях и Алисы, и Боба работают правильно, что происходит с вероятностью pr_успеха = η², имеет место равенство Если на одной из станций случается ошибка и детектор не регистрирует фотон, что происходит с вероятностью pr_ошибки = 1 — η², между показанными на двух станциях значениями не будет никакой корреляции, т. е. ⟨S⟩ _ошибки = 0. Приняв во внимание оба эти типа событий, находим:

Таким образом, критическое значение эффективности, при котором нарушается неравенство Белла ⟨S⟩ ≤ 2, равно

Решение для упражнения 2.53. Рассуждения здесь полностью аналогичны тем, что мы применили для упр. 2.46. Мы вводим скрытые параметры λ_A, λ_B, λ_C, связанные с тремя частицами таким образом, что значения, показываемые на трех приборах, зависят от этих параметров так:

где каждый из индексов i, j, k может принимать значения x или y. Теперь введем величину

Сумма (Р2.24) должна быть неотрицательной, потому что неотрицательны все ее слагаемые. Далее, при условии что

находим

Это означает, что величину можно интерпретировать как распределение вероятности.

Решение для упражнения 2.54. Вспомнив, что и находим

Для остальных двух операторов в пункте (a) доказательство аналогично.

Решение для упражнения 2.55. Декогеренция заключается в потере информации о партнере атома по запутыванию, т. е. о среде. Следуя рассуждениям подразд. 2.2.4, находим, что, потеряв эту информацию, атом может находиться в любом из состояний |x_i⟩ с вероятностью pr_i = |ψ_i|².

Решение для упражнения 2.56. Начальное состояние пары фотонов равно

Предположим, что измерение Алисы происходит первым. Поскольку оно делается в базисе запутанность между системой и прибором Алисы будет выглядеть следующим образом:

где |ω_1,2⟩ может соответствовать лавинам в детекторах 1 и 2 соответственно. Теперь Боб запутывает свой прибор с этим состоянием и получает

где индекс SAB в левой части уравнения означает совокупность системы, прибора Алисы и прибора Боба.

Решение для упражнения 2.57. Число ветвей, содержащих k из n результатов с горизонтальной поляризацией, задается комбинаторным выражением

Поскольку полное число слагаемых в суперпозиции равно 2ⁿ, доля слагаемых, которые интересуют нас, составляет

Решение для упражнения 2.59. Без потери общности предположим, что n четное, и найдем логарифм отношения между числом слагаемых, которые содержат k компонентов с горизонтальной поляризацией, и слагаемых, содержащих n/2 таких компонентов. Воспользовавшись приближением Стирлинга, получаем

Теперь, воспользовавшись разложением Тейлора, аппроксимируем

Подставив этот результат в (Р2.28), находим

Решение для упражнения 2.60

a) В упр. 2.57 мы нашли, что в дереве, изображенном на рис. 2.5 a, число путей, содержащих k сплошных ветвей (соответствующих наблюдению горизонтальной поляризации) и n — k пунктирных ветвей (вертикальная поляризация), равно Каждая сплошная ветвь на рис. 2.5 a заменяется на m_H ветвей на рис. 2.5 b, тогда как каждая пунктирная ветвь заменяется на m_V ветвей. Поэтому число путей с k сплошными и n — k пунктирными ветвями на рис. 2.5 b равно

b) См. рис. 2.6, b.

c) Следуя за рассуждениями в предыдущем упражнении, найдем логарифм отношения между числом слагаемых, содержащих k компонентов с горизонтальной поляризацией, и тех, что содержат α²n таких компонентов. Установим δ = k — α²n. Воспользовавшись результатом пункта a), а также тем фактом, что дельта много меньше n, получим

В этом преобразовании мы воспользовались тем, что m_H/m_V = α²/β² и α² + β² = 1.

Решение для упражнения 2.61

a) Из описания оператора мы сразу можем вывести, что

b) Аналогичным образом,

c) Вентиль Адамара в локальном пространстве отображает и  В составном пространстве локальный вентиль Адамара у Боба отображает

|00⟩ → |0+⟩;

|01⟩ → |0–⟩;

|10⟩ → |1+⟩;

|11⟩ → |1–⟩;

и, соответственно, может быть записан как

Теперь, воспользовавшись (A.21), найдем в каноническом базисе

Все эти операторы унитарны (мы можем это вывести из определения унитарности или просто заметить, что каждый из них отображает один ортонормальный базис на другой ортонормальный базис). Это означает, что их можно реализовать в физическом процессе.

Решение для упражнения 2.62. Умножив матрицу (Р2.33) на (Р2.32), а затем снова на (Р2.33), получаем матрицу (Р2.31).

Решение для упражнения 2.63. Поскольку гамильтониан может быть записан как