Отличная квантовая механика

Потребовав, чтобы норма |ψ⟩ равнялась единице, находим A = π^–1/4.Волновая функция в импульсном базисе вычисляется аналогично.

Решение для упражнения 3.65

a) Однофотонное состояние Фока получено из вакуумного путем применения единичного оператора рождения. Воспользовавшись (3.94), выразим оператор рождения в координатном базисе как

Двухфотонное состояние Фока получается путем применения оператора рождения к однофотонному состоянию:

b) Теперь мы покажем по индукции, что уравнение (3.110) описывает волновую функцию состояния Фока |n⟩. Во-первых, применив уравнения (3.110) и (3.111) с n = 0, получим волновую функцию вакуумного состояния (3.107a). Во-вторых, предположим, что уравнение (3.110) выполняется при заданном n = k, и докажем, что оно должно выполняться и при n = k + 1. Мы можем записать соотношение рекурсии координатном базисе с использованием уравнения (Р3.69):

что согласуется с (3.110) при n = k + 1. Чтобы записать последнее равенство, мы обратили внимание, что из (3.111) следует

Решение для упражнения 3.66. Матрицы этих двух наблюдаемых могут, в принципе, быть получены путем интегрирования волновых функций в координатном и импульсном базисах. Однако более красивый способ решения — выразить эти наблюдаемые через операторы рождения и уничтожения в соответствии с уравнением (3.100). Воспользовавшись (3.104), находим матрицы операторов рождения и уничтожения в базисе Фока как

Решение для упражнения 3.67. Для произвольного фоковского состояния |n⟩ имеет место равенство

Для неопределенностей получаем:

Этот же ответ верен для неопределенности импульса:

Решение для упражнения 3.68

a) Для эволюции суперпозиции набора фоковских состояний имеет место равенство

Здесь мы воспользовались тем фактом, что оператор уничтожения связывает только последовательные фоковские состояния: Приведенный выше результат можно переписать как ⟨â⟩(t) = ⟨â⟩(0)e_−iωt.

Чтобы вывести соответствующее выражение для оператора рождения, вспомним, что он сопряжен с оператором уничтожения:

⟨â^†⟩(t) = ⟨ψ(t)|â^†|ψ(t)⟩ = ⟨ψ(t)|â|ψ(t)⟩^* = [⟨â⟩(0)e^−iωt]^* = ⟨â^†⟩(0)e^iωt.

b) Записав оператор координаты как находим:

Аналогичным образом для импульса получаем

Решение для упражнения 3.69. Будем работать в координатном базисе. По аналогии с упр. 3.64 перепишем (3.116) как

Волновая функция (3.117b) в импульсном базисе получается из волновой функции в координатном базисе с помощью преобразования Фурье, как и в упр. 3.25.

Средние значения дисперсии координаты и импульса можно получить интегрированием волновой функции, как в упр. 3.25. Однако также вполне примени́м подход, аналогичный использованному для фоковских состояний в упр. 3.67. Взяв сопряженные к обеим частям уравнения (3.116), мы обнаружим, что ⟨α|â^† = α^*⟨α|; отсюда

Аналогично

Для неопределенностей имеет место равенство

Этот же ответ верен и для дисперсии импульса.

Решение для упражнения 3.70. Рассмотрим некоторое разложение когерентного состояния в числовом базисе

и применим определение когерентного состояния (3.116) к этому разложению. Для левой части (3.116) в соответствии с (3.104a) имеет место равенство

Мы изменили нижний индекс суммирования с n = 0 на n = 1 во втором из приведенных равенств, потому что член, соответствующий n = 0, идет с коэффициентом и, следовательно, обнуляется.

В то же время правую часть (3.116) можно записать как

Уравняв обе стороны, мы находим рекурсивное соотношение

Остается найти такое значение α₀, при котором состояние уравнения (Р3.79) нормированно к единице. Находим

Сумма в этом выражении есть разложение Тейлора экспоненты так что имеет место равенство Потребовав, чтобы выполнялось ⟨α|α⟩ = 1, находим

Объединив уравнения (Р3.84) и (Р3.87), получаем

Решение для упражнения 3.71. Для фоковского разложения когерентного состояния (3.122) мы сразу же видим

В координатном базисе для разложений (волновых функций) вакуумного и когерентного состояний [уравнения (3.107a) и (3.117a) соответственно] находим

Решение для упражнения 3.72. Для средней энергии получаем

здесь мы воспользовались определением когерентного состояния â|α⟩ = α|α⟩ и эрмитовым сопряжением к этому соотношению ⟨α|â^† = ⟨α|α^*.

Для дисперсии энергии находим

и следовательно,

⟨ΔE₂⟩ = ⟨E₂⟩ − ⟨E⟩₂ = (ℏω)₂|α|₂.

Оба эти результата согласуются с (3.124), потому что

Решение для упражнения 3.73. Имея в виду, что когерентное состояние раскладывается в фоковском базисе согласно (3.122) и что каждое фоковское состояние — это собственное состояние гамильтониана с собственным значением ℏω(n + 1/2), находим

Решение для упражнения 3.74

a) Согласно (3.125), когерентное состояние в ходе эволюции остается когерентным, т. е. собственным состоянием оператора уничтожения. Отсюда

⟨â⟩(t) = ⟨αe^−iωt|â|αe^−iωt⟩ = αe^−iωt и

⟨â_†⟩(t) = [⟨â⟩(t]_* = αe_iωt.