Отличная квантовая механика

a) Аналогично случаю, рассмотренному в упр. 3.88, c), действие оператора смещения импульса в координатном базисе соответствует умножению на комплексную экспоненту:

Здесь мы воспользовались тем, что вектор ⟨x| — собственное состояние оператора

b) Подействуем оператором смещения координаты на состояние волновую функцию которого мы нашли в пункте a). Это даст нам сдвиг аргумента на x₀, т. е. состояние с волновой функцией

c) Применив сначала оператор смещения координаты к состоянию |ψ⟩, мы получим состояние с волновой функцией ψ(x — x₀). Последующее применение смещения импульса умножает эту волновую функцию на [мы выяснили это в пункте a)], поэтому

Решение для упражнения 3.92. Уравнение (3.148) непосредственно получается из формулы Бейкера — Хаусдорфа — Кэмпбелла (A.54), если установить и . Тогда

Решение для упражнения 3.93. Гамильтониан, дающий смещение в фазовом пространстве, равен где β_x = x₀/t₀ и β_p = p₀/t₀, а t₀ — продолжительность его действия. И в самом деле, в данном случае мы имеем в представлении Гейзенберга

Решение для упражнения 3.94. Чтобы убедиться в том, что вектор является собственным вектором оператора подвергнем его действию этого оператора.

В третьем равенстве мы воспользовались тем, что собственное состояние оператора с собственным значением x представляет собой также собственное состояние функции этого оператора с собственным значением 𝑓(x,t) (упр. А.85). Результат этого вычисления показывает, что действие оператора на вектор эквивалентно умножению на скаляр 𝑓(x, t), что и требовалось доказать.

Решение для упражнения 3.95. Поскольку 𝑓(x, t) — обратимая функция, скалярное произведение ⟨𝑓(x, t)|𝑓(x'⟩, t) принимает ненулевые значения только в бесконечно малом интервале x ≈ x′. Разложив 𝑓(x′, t) в окрестности x как 𝑓(x′, t) ≈ 𝑓(x, t) + 𝑓′(x, t) (x′ — x), находим

Решение для упражнения 3.96. Применив (3.150) к произвольным x и x′ и взяв скалярные произведения обеих частей двух получившихся уравнений, получаем:

⟨x|x'⟩ = |K(x,t)₂⟨𝑓(x,t)|𝑓(x',t)⟩. (Р3.100)

Теперь, используя ⟨x|x'⟩ = δ(x — x'), а также (3.151), приходим к искомому результату.

Решение для упражнения 3.97. Мы можем записать уравнение (3.150) для отрицательного времени следующим образом:

Взяв теперь сопряженные для обеих частей данного уравнения и воспользовавшись определением волновой функции, запишем

Решение для упражнения 3.98. Пусть оператор эволюции соответствующий отрицательному времени — t, действует на обе стороны (3.150). Получаем

Левая часть этого уравнении равна |x⟩ для любого x. Это означает, что 𝑓(𝑓(x,t), — t) = x [т. е. 𝑓(x, — t) = 𝑓⁻¹(x,t)] и K(x,t)K(x, — t) = 1. Объединяя последний результат с уравнением (3.152), находим, что

Решение для упражнения 3.99. Объединяя результаты упр. 3.97 и 3.98, получаем

Решение для упражнения 3.100. Заметим, что оператор смещения в перемасштабированных переменных можно записать как эволюцию

Операторы координаты и импульса эволюционируют под действием гамильтониана в представлении Гейзенберга в соответствии с

Сведя эти результаты вместе, мы получаем уравнения (3.155a, b).

Для оператора уничтожения используем его определение (3.97), чтобы записать

Решение для упражнения 3.101. Из уравнения (3.155c) мы знаем, что в представлении Гейзенберга оператор смещения преобразует оператор уничтожения в функцию от него â. В соответствии с упр. 3.94 это означает, что данная эволюция в представлении Шрёдингера должна преобразовывать вакуумное состояние — собственное состояние â с собственным значением 0 — в один из собственных векторов того же самого оператора с собственным значением

Решение для упражнения 3.102

a) Используя и уравнение (3.100), запишем:

b) Поскольку коммутатор

[αâ^†, − α^*â] = −|α|²[â^†,â] = |α|²

представляет собой число, мы можем использовать формулу Бейкера — Хаусдорфа — Кэмпбелла (A.54) и получить (3.158).

c) Раскладываем экспоненту в ряд Тейлора:

Последнее равенство здесь верно потому, что, поскольку â — оператор уничтожения, все члены суммы обнуляются, за исключением n = 0.

Из этого следует, что

Решение для упражнения 3.103. Разложив (3.159) в ряд Тейлора, находим:

Решение для упражнения 3.104

a) Это следует из утверждения упр. A.85.

b) Используя предыдущий результат и фоковское разложение когерентного состояния (3.122), запишем

Решение для упражнения 3.105. Мы следуем той же логике, которую применяли в упр. 3.100. Фиктивный гамильтониан, такой что в данном случае равен где ω = ϕ/t. Оператор уничтожения эволюционирует под действием этого гамильтониана следующим образом

и отсюда

â(t) = â0e_−iωt = â0e_−iϕ

Следовательно,

â_†(t) = [â0e_−iωt]_† = â_†(0)e_iϕ