Отличная квантовая механика

Поскольку все элементы A можно выразить через элементы C, то через них должно быть возможным и выражение всех элементов 𝕍, так как A — это базис. Следовательно, C — тоже базис. Но число элементов в C больше, чем N, что противоречит результату упр. A.6.

b) Предположим, что существует множество из N векторов, которое является остовом 𝕍, но при этом линейно не независимо: некоторые элементы этого множества могут быть представлены в виде линейной комбинации остальных. Рассмотрим все возможные подмножества B и выберем среди них то, которое имеет наименьшее число элементов, но по-прежнему является остовом B; обозначим его C. Тогда C должно быть также линейно независимым, поскольку если бы в C был элемент, который выражался бы через остальные, то его можно было бы удалить из C, а C по-прежнему оставалось бы остовом, что противоречит принципу выбора C. Следовательно, C также является базисом. Но число элементов в C меньше N, что противоречит результату упр. A.6.

Решение для упражнения A.8. Пусть — базис, по которому мы пытаемся разложить наш вектор |𝑣⟩. Предположим, что существует более одного такого разложения, скажем,

|𝑣⟩ = λ₁|ω₁⟩ + … + λN|ωN⟩ = μ₁|ω₁⟩ + … + μN|ωN⟩, (РА.9)

где λl ≠ μl по крайней мере для одного l. Из этого следует, что

0 = (λ₁ — μ₁)|ω₁⟩ + … + (λN — μN)|ωN⟩, (РА.10)

где не все коэффициенты справа равны нулю. Но это значит, что {|ωi⟩} не является линейно независимым или, иными словами, не является базисом.

Решение для упражнения A.9

Решение для упражнения A.10. Упорядоченная пара (x, y) может быть записана также как двумерный вектор поэтому верно следующее:

Это говорит нам, что пара чисел (x, y) действительно представляет разложение по базису, состоящему из единичных векторов вдоль осей x и y, —

Решение для упражнения A.11

a) Согласно упр. A.4, a), любые два непараллельных вектора образуют линейно независимое множество. Поскольку пространство двумерно, любое линейно независимое множество из двух векторов должно образовывать базис в соответствии с упр. А.7.

b) Согласно упр. A.4, b), любые три некомпланарных вектора образуют линейно независимое множество. Поскольку пространство трехмерно, любое линейно независимое множество из трех векторов должно образовывать базис.

Решение для упражнения A.12. Векторы и антипараллельны и потому линейно зависимы. Пары и непараллельны и потому, согласно упр. A.11, являются базисами. Матрицы заданных векторов в базисе выглядят так:

Соответственно, вектор раскладывается как по базису и просто как по базису

Решение для упражнения A.13. Пусть подпространство натянуто на первые M элементов базиса {|𝑣i⟩}, где M < dim 𝕍. Нам нужно доказать, что, когда мы складываем два элемента между собой или умножаем элемент на число, результат тоже будет принадлежать И в самом деле, для любых

мы получим, с учетом коммутативности сложения и дистрибутивности скалярных сумм,

и, воспользовавшись ассоциативностью скалярного умножения,

Мы видим, что и |a⟩ + |b⟩, и λ|a⟩ суть линейные комбинации первых M элементов {|𝑣i⟩}, следовательно, они тоже являются элементами

Решение для упражнения A.14. Нужно применить определение геометрического скалярного произведения, чтобы проверить каждое из свойств скалярного произведения в линейной алгебре.

Решение для упражнения A.15. Для находим, пользуясь свойствами 1 и 2 скалярного произведения (определение А.9), Согласно свойству 3,

Решение для упражнения A.16. Запишем для произвольного |b⟩, что |0⟩ = |b⟩ — |b⟩. Таким образом, согласно свойству 1, ⟨a |zero⟩ = ⟨a|b⟩ — ⟨a|b⟩ = 0. Тогда скалярное произведение ⟨zero|a⟩ тоже равно нулю, согласно свойству 3.

Решение для упражнения A.17. Пусть — множество ортогональных векторов. Предположим, что эти векторы линейно зависимы, т. е. один из них (скажем, |𝑣₁⟩) может быть записан как линейная комбинация остальных:

Возьмем скалярное произведение обеих частей уравнения (РА.13) с |𝑣₁⟩. Воспользовавшись свойством 3 скалярного произведения, найдем

В данном уравнении левая часть не может быть равна нулю из-за свойства 4 скалярного произведения; правая же часть равна нулю из-за ортогональности множества {|𝑣i⟩}. Получено противоречие.

Решение для упражнения A.18. Пусть |ψ'⟩ = e^iϕ|ψ⟩. Воспользовавшись результатом упр. A.15, запишем

⟨ψ'|ψ'⟩ = (e^iϕ)^*⟨ψ|ψ'⟩ = (e^−iϕ)(e^iϕ)⟨ψ|ψ⟩ = ⟨ψ|ψ⟩. (РА.15)

Решение для упражнения A.19. Это прямо следует из упр. A.7 и A.17.

Решение для упражнения A.20. Пусть — ортонормальный базис в 𝕍. Тогда и Воспользовавшись результатом упр. A.15, запишем

Решение для упражнения A.21. Начнем с разложения