Отличная квантовая механика

5. Векторная дистрибутивность

6. Скалярная дистрибутивность

(λ + μ)⟨a| = сопр((λ + μ)^*|a⟩) = сопр((λ^* + μ^*)|a⟩ = сопр(λ^*|a⟩ + μ^*|a⟩) = λ⟨a| + μ⟨a|.

7. Скалярная ассоциативность

λ(μ⟨a|) = сопр(λ^*(μ^*|a⟩)) = сопр((λ^*μ^*)|a⟩) = сопр((λμ)^*|a⟩) = (λμ)⟨a|.

8. Скалярная единица

1⋅⟨a| = сопр(1^*⋅|a⟩) = сопр(1⋅|a⟩) = сопр(|a⟩) = ⟨a|.

Решение для упражнения A.29. Пусть {|𝑣i⟩} — это базис в 𝕍. Чтобы доказать, что {⟨𝑣i|} есть базис в 𝕍^†, нам нужно показать, что данное множество является остовом этого пространства и линейно независимо.

Остов. Пусть ⟨x| ∈ 𝕍^†. Тогда, соответственно, ⟨x| ∈ 𝕍^†, и, поскольку {|𝑣i⟩} — базис,

для некоторого множества коэффициентов λ_i ∈ 𝔽. Взяв сопряжение для обеих сторон уравнения, получаем

и здесь мы видим, что ⟨x| можно выразить через множество {⟨𝑣i|}. Иными словами, это множество является остовом 𝕍^†.

Линейная независимость. Предположим, что нулевой элемент ⟨zero| может быть представлен как линейная комбинация ⟨zero| = Σλ_i⟨𝑣_i|. Это означает, что

а это, в свою очередь, подразумевает, что

и, соответственно, базис {|𝑣i⟩} не является линейно независимым в 𝕍. Получено противоречие.

Решение для упражнения A.30

сопр (|𝑣1⟩ + i|𝑣2⟩) ≃ (1 — i).

Решение для упражнения A.31

a) Â линеен, поскольку

Â(|a⟩ + |b⟩) = 0 = 0 + 0 = Â|a⟩ + Â|b⟩

и

Â(λ|a⟩) = 0 = λ0 = λÂ|a⟩.

b) Â линеен, поскольку

Â(|a⟩ + |b⟩) = |a⟩ + |b⟩ = Â|a⟩ + Â|b⟩

и

Â(λ|a⟩) = λ|a⟩ = λÂ|a⟩.

c) Â линеен, поскольку

d) Â не линеен. С одной стороны, мы знаем, что

но, с другой стороны,

Мы видим, что оператор Â не подходит под определение A.15 и, следовательно, не является линейным.

e) Â не линеен. С одной стороны,

А поскольку оператор Â не подходит под определение A.15.

f) Это линейный оператор. Проще всего показать линейность геометрически: найти сумму векторов и , каждый из которых повернут на угол ϕ — это то же самое, что сначала сложить векторы, а затем повернуть их сумму. Аналогичным образом повернуть и отмасштабировать вектор — то же самое, что сначала отмасштабировать, а затем повернуть его.

Решение для упражнения A.32

a) Считая, что Â и линейны, и вспомнив определение сложения операторов, проверим сразу оба условия линейности:

Отсюда сумма линейна.

Аналогичным образом, полагая, что  линеен, и проверяя одновременно оба условия линейности λÂ, получаем:

λÂ(μ_a|a⟩ + μ_b|b⟩) = λ(μ_aÂ|a⟩ + λ(μ_bÂ|b⟩) = λμ_aÂ|a⟩ + λμ_bÂ|b⟩ = μ_a(λÂ|a⟩) + μ_b(λÂ|b⟩).

Отсюда следует, что λ линеен.

b) Мы определим нулевой оператор как оператор, отображающий каждый вектор на |zero⟩. Для любого оператора Â мы можем определить противоположный ему оператор, — Â, согласно

(—Â|a⟩) ≡ —(Â|a⟩). (РА.21)

Решение для упражнения A.33. Считая Â и линейными и вспомнив определение A.18 умножения операторов, а также проверяя оба условия линейности одновременно, мы видим, что

Следовательно, произведение линейно.

Решение для упражнения A.34. Рассмотрим вектор (1, 0). Если повернуть его на π/2, получится (0, 1), а последующий переворот относительно горизонтальной оси даст (0, –1). Если произвести эти операции в обратном порядке, переворот не произведет никакого действия, так что в результате получится вектор (0, 1).

Решение для упражнения A.35. Подействуем оператором на некоторый вектор Согласно определению A.18, находим

Иными словами, чтобы подействовать оператором мы должны сначала применить оператор Ĉ к вектору |a⟩, затем к тому, что получилось, и в итоге применить Â к результату.

Посмотрим теперь на оператор Имеет место равенство

Мы видим, что операторы и отображают любой вектор одинаково, т. е. равны друг другу.

Решение для упражнения A.36. В любом базисе {|𝑣i⟩} действует соотношение Согласовав его с уравнением (A.19), находим, что матрица единичного оператора равна просто единичной матрице:

Решение для упражнения A.37. Соотношение (A.19) в матричном виде выглядит так:

Решение для упражнения A.38. Объединив уравнения (A.18) и (A.19), находим

а это означает, что i-й элемент разложения вектора Â|a⟩ в нашем рабочем базисе равен . Это согласуется с (A.20).

Решение для упражнения A.39

a) Пусть Cij — матрица оператора Тогда, согласно определению A.19 матрицы оператора, должно выполняться

Сравнив полученные результаты, мы видим, что Cij = Aij + Bij, а значит, матрица равна сумме матриц операторов-компонентов.

b) Аналогично находим, что

Мы видим, что (i, j) — й элемент матрицы, связанной с оператором λÂ, равен λAij.

c) Пусть Согласно упр. (A.19), имеет место равенство Поэтому

Сравнивая это с уравнением (РА.24), выясняем, что

а это соответствует стандартному правилу «строка-на-столбец» для перемножения матриц.