Отличная квантовая механика

Такой итог может показаться удивительным. Хотя результат Алисы положителен, вероятность того, что она и в самом деле инфицирована, очень низка — потому что еще более низка доля людей, которые инфицированы в действительности. Положительный результат для случайного человека, скорее всего, ошибочен, несмотря на низкий процент ложных положительных результатов, указанный в спецификации теста.

Решение для упражнения Б.8

a) Каждый из n бросков представляет собой независимое случайное событие. Поэтому существует 2n возможных цепочек исходов длины n, и вероятность любой конкретной цепочки равна 1/2n. Среди этих цепочек есть таких, в которых в k подбрасываниях монета выпадает орлом, а в n — k — решкой. Отсюда ответ:

b) В данном случае вероятность любой конкретной последовательности, содержащей k выпадений монеты орлом и n — k — решкой, равна pk (1 — p)n — k. Поэтому ответ из пункта a) становится таким:

Решение для упражнения Б.10. Для среднего значения имеет место равенство:

(обратите внимание, мы заменили нижний предел суммирования, потому что слагаемое, соответствующее k = 0, равно нулю). Теперь, заменив переменную суммирования на m = k — 1, находим

В данном уравнении выражение под знаком суммы — это биномиальная вероятность, соответствующая m успешным исходам из n — 1 событий. Сумма этих вероятностей по всем значениям m равна 1. Поэтому ⟨k⟩ = np.

Для среднего квадрата, действуя аналогичным образом, находим

Отсюда следует, что

⟨Δk²⟩ = ⟨k²⟩ — ⟨k⟩² = np — np².

Решение для упражнения Б.11

a) Вероятность рождения ребенка на единицу населения в день (p) равна 10/100 000 = 10^–4. Используя биномиальное распределение с n = 100 000, находим:

b) Аналогичным образом находим pr₁₂ = 0,0947807.

Решение для упражнения Б.12

Решение для упражнения Б.13

Решение для упражнения Б.15. В пределе при p → 0, n → ∞, λ = pn = const уравнение (Б.8) принимает вид

⟨k⟩ = np = λ; ⟨Δk²⟩ = np — np² → λ.

Решение для упражнения Б.16

a) Для заданного дискретизированного распределения вероятность того, что Q попадает в диапазон между Q′ и Q″, — это сумма вероятностей для всех интервалов, расположенных между этими значениями:

В пределе при δQ → 0 эта аппроксимация становится равенством, потому что и Отсюда, согласно определению (Б.10) непрерывной плотности вероятности, а также определению интеграла, имеет место равенство

где i(Q) — это номер интервала, к которому относится значение Q.

b) Согласно пункту a), интеграл (Б.12) соответствует вероятности обнаружить любое значение Q между —∞ и +∞ и, значит, равен единице.

c) В дискретном случае

где суммирование проводится по всем интервалам. Переход от суммирования к интегрированию в пределе при δQ → 0 производится аналогично тому, как это сделано в пункте a).

Решение для упражнения Б.17. Вероятность того, что ядро не распадется через время t от начала эксперимента, равна 2^—t^/τ. Тогда вероятность того, что событие распада происходит между моментами t и t + δt, должна быть пропорциональна производной этой функции, т. е. тоже 2^—t^/τ с некоторым коэффициентом. Соответственно, pr(t) = C × 2^—t^/τ, где C — постоянная нормирования, которую можно найти при помощи (Б.12):

И это означает, что неопределенность равна

Решение для упражнения Б.18

a) Это следует непосредственно из уравнений (Б.15) и (Б.17).

где мы заменили переменную интегрирования в соответствии с t = x — a. Первый член в этом выражении обнуляется, потому что представляет собой интеграл нечетной функции. Второй член равен a, согласно пункту a).

Глава РВ

Решения к упражнениям приложения В

Решение для упражнения В.2. См. рис. РВ.1.

Решение для упражнения В.3. Схема поляризации (В.2) в точке z + Δz в момент времени t такая же, как в точке z в момент времени t — (k/ω)Δz = t — Δz/c. Поскольку вектор поля есть периодическая функция от времени, сдвиг во времени не изменит форму его траектории.

Решение для упражнения В.4

a) Согласно (В.1),

E_H(z,t) = A_Hcos(kz — ωt +ϕ_H); (РВ.1)

E_V(z,t) = A_Vcos(kz — ωt +ϕ_V).

Поляризация линейна тогда и только тогда, когда E_H(z,t) = 0, или E_V(z,t) = 0, или E_H(z,t) = λE_V(z,t) с некоторым коэффициентом λ. Первые два условия выполняются в том и только том случае, если AH = 0 или AV = 0 соответственно. Третье условие подразумевает, что два косинуса пропорциональны друг другу, а это может произойти тогда и только тогда, когда сдвиг по фазе между ними составляет mπ.

b) Для начала обратим внимание: в круговой картине максимальное абсолютное значение для горизонтального и вертикального компонентов должно быть одинаковым, поэтому AH = ±AV. Далее, круговая картина означает, что а это подразумевает, что

cos²(kz − ωt + ϕ_H) + cos²(kz − ωt + ϕ_V) = const.