Отличная квантовая механика

Поскольку cos²ϕ = (cos²ϕ+1)/2 для любого ϕ, это условие эквивалентно

cos[2(kz − ωt + ϕ_H)] + cos[2(kz − ωt + ϕ_V)] = const.

Воспользовавшись еще одним тригонометрическим тождеством: cosϕ + cosθ = 2cos[(ϕ + θ)/2]cos[(ϕ − θ)/2], получим

cos[2(kz − ωt) + ϕ_H + ϕ_V]cos(ϕ_H − ϕ_V) = const.

Поскольку первый множитель в левой части приведенного выше условия не может быть константой, это условие выполняется тогда и только тогда, когда cos (ϕH — ϕV) = 0, т. е.

Решение для упражнения В.5. Мы попробуем доказать, что существует множество чисел {A, B, C, D}, не зависящих от z и t, таких, что

где EH(z, t) и EV(z, t) — соответственно горизонтальная и вертикальная компоненты волны, задаваемой уравнением (В.1). Из аналитической геометрии известно, что (РВ.2) представляет собой одно из конических сечений: гиперболу, параболу или эллипс. Поскольку и EH, и EV — ограниченные функции, (РВ.2) может описывать только эллипс, крайними случаями которого являются круговая и линейная траектории.

При помощи тригонометрических тождеств запишем (В.1) следующим образом:

EH = AH(cHc — sHs);

EV = AV(cVc — sVs), (РВ.3),

где мы определили c = cos(kz — ωt), s = sin(kz — ωt), cH,V = cos ϕV,H и sH,V = sin ϕV,H. Теперь преобразуем левую часть уравнения (РВ.2):

где мы использовали Приведенный результат упрощается до вида

если A, B и D таковы, что коэффициенты перед переменными c² — s² и cs, зависящими от (z, t), в уравнении (РВ.4) превращаются в нуль:

Это система двух уравнений с тремя неизвестными, поэтому она всегда имеет нетривиальное решение. Для данного решения выполняется уравнение (РВ.5), которое идентично уравнению (РВ.2) при

Решение для упражнения В.6. Показатели преломления ne и no изменяют длину обыкновенной волны согласно λo = λ/no, а необыкновенной — согласно λe = λ/ne, что соответствует волновым числам ke = 2πne/λ и ko = 2πno/λ. Проходя сквозь кристалл, эти волны приобретают фазы ϕe = ke L и ϕo = ko L, так что Δϕ = 2π(ne — no)L/λ.

Решение для упражнения В.7. Полуволновые и четвертьволновые пластинки с вертикальными оптическими осями сдвинут фазу вертикального компонента поля на π и π/2 соответственно. См. рис. РВ.2.

Решение для упражнения В.9. Картины линейной поляризации с углами ±45° соответствуют AH = ±AV и ϕH = ϕV + mπ, где m — целое число. Сравнивая это условие с условием из упр. В.4(b), находим, что волны с поляризацией ±45° и круговой поляризацией получаются друг из друга путем добавления ±π/2 к ϕV — а это в точности то, что делает четвертьволновая пластинка.

Решение для упражнения В.10. Линейная поляризация под углом θ подразумевает, что AH = Acosθ, AV = Asinθ, где A действительно и положительно, а ϕH — ϕV = 0. Без потери общности мы можем считать, что ϕH = ϕV = 0. Перед волновой пластинкой у нас такая картина:

E_H(z,t) = Acosθcos(kz — ωt); (РВ.6)

E_V(z,t) = Asinθcos(kz — ωt),

а после нее —

E_H(z,t) = Acosθcos(kz — ωt); (РВ.7)

E_V(z,t) = Asinθcos(kz — ωt + π/2) = —Asinθsin(kz — ωt).

Из последнего результата следует, что

а это уравнение эллипса, оси которого ориентированы вертикально и горизонтально, причем отношение длин осей равно cos θ/sin θ (рис. РВ.3).

Решение для упражнения В.11. Как мы знаем из упр. В.5, в общем случае картина поляризации является эллиптической. Предположим, что амплитуды желаемой поляризационной картины вдоль большой и малой полуосей равны A₁ и A₂, а большая ось ориентирована под углом β к горизонтали. Обозначим θ = tg^–1 (A₂/A₁) и Для начала возьмем горизонтально поляризованный свет амплитуды A и применим к нему четвертьволновую пластинку под углом θ к горизонтали. В системе отсчета волновой пластинки это действие эквивалентно применению четвертьволновой пластинки с вертикальной оптической осью к линейной поляризации с углом —θ. Следуя логике предыдущего упражнения, мы получаем эллиптическую картину с осями, расположенными вдоль и поперек оптической оси пластинки и с соотношением длин осей cosθ/sinθ = A₁/A₂. А в лабораторной системе отсчета этот эллипс расположен под углом θ к горизонту. Остается повернуть данный эллипс, это достигается при помощи полуволновой пластинки под углом (β + θ)/2 (рис. РВ.4).

Решение для упражнения В.12. В системе отсчета, ориентированной под углом 45° по отношению к лабораторной системе отсчета, оптическая ось четвертьволновой пластинки вертикальна. Линейно поляризованный свет, проходящий через эту волновую пластинку, порождает картину, описываемую уравнением

где θ — угол между поляризацией и осью волновой пластинки, а (см. упр. В.10). Чтобы перейти к лабораторной системе отсчета, мы поворачиваем вектор поля в плоскости x — y на 45° при помощи матрицы, найденной в упр. A.41,

и находим

Это соответствует одинаковой интенсивности A²(cosθ² + sin²θ)/2 = A²/2 для горизонтальной и вертикальной поляризации.