Пифагор и его школа

Теоремы, уже известные Гиппократу Хиосскому, подтверждают сообщения Евдема и одновременно расширяют наши представления об уровне пифагорейской математики. Гиппократ хорошо знал значительную часть теорем I книги Евклида, обобщенную теорему Пифагора для остроугольных и тупоугольных треугольников (Евкл. Щ 12–13), теорему о правильном шестиугольнике, вписанном в круг (Евкл. IV, 15). Вместе с тем правильный пятиугольник, вписанный в, круг, был известен уже Гиппасу. Мы еще раз убеждаемся в. том, что вся IV книга Евклида была известна пифагорейцам, за исключением, может быть, последнего предложения о правильном пятнадцатиугольнике (Евкл. IV, 16).

Поскольку IV книга прямо опирается на положения III книги, часть из которых была известна уже Фалесу, а некоторые другие активно использовал Гиппократ при решении проблемы квадратуры луночек, следует заключить, что к пифагорейцам восходит и большая часть III книги. Правда, позже к этой книге был добавлен ряд других теорем, а старые были частично переработаны самим Евклидом, либо кем-то незадолго до него. Незначительной переработке подверглись и несколько теорем IV книги, но в целом, обе эти книги, бесспорно, восходят к пифагорейцам^{112}.

Все 14 теорем II книги Евклида посвящены приложению площадей, которое, как мы помним, Евдем приписывал пифагорейцам Приложение площадей представляет собой квадрирование прямоугольной фигуры и решается нахождением среднего пропорционального x между двумя заданными отрезками а и b — квадрат со стороной х и будет равен прямоугольнику ab. Гиппократ не только отлично знал этот метод, но и развил его: он свел задачу удвоения куба к нахождению двух средних пропорциональных между двумя заданными отрезками. Здесь важно, отметить, что Гиппократу не просто были, известны предложения, которые мы возводим к пифагорейцам, — в конце концов он мог доказать, их и сам. Но дело, в том, что Гиппократ ставил перед собой уже гораздо более сложные задачи, и опирался на достижения пифагорейцев в решении своих собственных проблем, таких как квадратура луночек или удвоение куба.

Итак, можно заключить, что к середине V в. до н. э. пифагорейцами было создано содержание II и IV книг Евклида, большинство положений III книги и значительная часть I книги. I книга стоит здесь несколько особняком: это связано с тем, что во второй половине IV в. до н. э. она была сильно переработана и к ней были добавлены многие новые, предложения, например касающиеся параллелограммов, Что же касается частичной переработки II, III и IV книг, то она была произведена отнюдь не потому, что Евклида или его предшественников не удовлетворяла строгость доказательств пифагорейцев. Дело в том, что к середине IV в. до н. э. Евдокс создал новую теорию пропорций, приложимую и к несоизмеримым величинам. Евклид поместил ее в V книге и соответственно ему пришлось изменить доказательства всех тех положений первых четырех книг, которые опирались на старую теорию пропорций^{113}, например, теоремы Пифагора (Евкл. 1,47).

Завершая наш обзор пифагорейской математики первой половины V в. до н. э., обратим внимание еще на два обстоятельства. Во-первых, пифагорейцами были созданы отдельные части и других книг Евклида, например, IX (учение о четном и нечетном и совершенные числа) и XIII (построение трех правильных многогранников). Ван дер Варден даже полагает, что им принадлежит VII книга — первая из арифметических книг «Начал». Он убедительно доказывает, что VII книга была создана до Архита (рубеж V–IV; вв. до н. э.), однако не исключена вероятность, что ее автором является Феодор из Кирены, ровесник Гиппократа. Феодор тоже был пифагорейцем (его упоминает Аристоксен в своем каталоге), но его деятельность уже выходит за рамки занимающей нас сейчас эпохи.

Во-вторых, далеко не все положения, вошедшие в первые четыре книги Евклида, появились в период между Гиппасом, и Гиппократом. Часть из них была доказана еще Фалесом и Пифагором, а возможно, и какими-то другими математиками VI в. до н. э. Имя одного из них известно — это Мамерк, брат известного поэта Стесихора. К сожалению, о его конкретном вкладе в математику мы ничего не знаем. Наконец, маловероятно, чтобы с Гиппасом можно было связывать лишь те открытия, которые ему приписывает традиция — математик такого уровня должен был сделать гораздо больше.

«Геометрическая алгебра» и Вавилон

Исследуя II книгу Евклида, математики еще в XVII в. Обнаружили, что ее предложения могут быть переформулированы алгебраически, в виде тождеств 86 и квадратных уравнений. Так, например, предложение II, 2 можно рассматривать как тождество (а+b)с=ас+bс, а приложение площадей с недостатком в алгебраической интерпретаций сводится к решению квадратного уравнения ах-х² = b². Со времени Г. Цейтена (рубеж XIX–XX вв.) задачи II книги и сходные с ними предложения VI книги принято называть «геометрической алгеброй» и видеть в ней геометрическую переформулировку алгебраических проблем^{114}.