Пифагор и его школа

Классическое доказательство иррациональности *2 (т. е. несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной) дается в приложении к X книге Евклида. Оно опирается на учение о четном и нечетном и ведется методом доказательства от противного. Обе эти детали указывают на его пифагорейское происхождение, но многие исследователи считают, что это доказательство слишком сложное, чтобы быть первоначальным. Существует несколько реконструкций первоначального доказательства иррациональности. Так, например, К. фон Фриц полагал, что Гиппас открыл иррациональность при построении додекаэдра: ведь диагональ правильного пятиугольника (образующего грань додекаэдра) также несоизмерима с его стороной^{107}. Однако более убедительными кажутся реконструкции, связывающие открытие иррациональности с диагональю и стороной квадрата. Вот, например, одно из них, предложенное У. Кнорром^{108}.

Дан квадрат ABCD. Из чертежа видно, что квадрат DBHI является его удвоением. Если сторона DB и диагональ DH соизмеримы, можно сосчитать, какое количество раз каждая из них измеряется их общей мерой. При этом из чисел DB и DH по крайней мере одно не должно быть четным. Квадраты DBHI и AGFE представляют собой квадратные числа. AGFE — это удвоенный DBHI, как ясно из чертежа. Следовательно, AGFE — эта, четное квадратное число, и его сторона AG, равная DH, должна быть четной. Значит, AGFE делится на 4. Поскольку ABCD — это 1/4 AGFE, он представляет собой четное число. Квадратное число DBHI является его удвоением. Отсюда DBHI и его, сторона DB — четные числа. Таким образом, вопреки предположению, мы приходим к тому, что числа DB и DH четные. Следовательно, эти две линии несоизмеримы.

Какую бы реконструкцию первоначального доказательства иррациональности *2 мы ни приняли, остается очевидным, что это открытие явилось важнейшим этапом становления греческой математики. «Открытие иррациональных чисел поставило проблему, ставшую центральной для древнегреческой математики»^{109}. Над решением этой проблемы плодотворно работали такие выдающиеся математики, как Гиппократ Хиосский, Феодор, Теэтет, Евдокс. Их результаты были собраны и обработаны в «Началах» Евклида, ставших образцом для всей последующей математики.

В середине нашего века значение открытия несоизмеримых велдчин многие были склонны даже переоценивать, полагая, что оно привело к так называемому кризису оснований в греческой математике — по аналогии с тем, что произошло, в математике, на рубеже XIX–XX вв.^{110}. Исследования последних десятилетий показали, что аналогия эта была неудачной: никакого «кризиса оснований» в математике V в. до н. э. не было^{111}. Столь, же мало подтверждений находит и идея о том, что открытие Гиппаса нанесло «смертельный удар» по пифагорейской догме «все есть число». К этому вопросу мы еще вернемся в главе о пифагорейской философии.

Пифагорейская математика первой половины V в. до н. э

Представление о том, чего достигли пифагорейцы в математике до начала деятельности Гиппократа Хиосского, можно получить, сопоставляя свидетельства Евдема с тем, что вытекает из фрагмента сочинения самого Гиппократа.

Часть сообщений Евдема сохранилась под его собственным именем. Так, например, Прокл отмечал, что Евдем приписывал пифагорейцам теорему о равенстве углов треугольника двум прямым (Евкл. I, 32) и задачи на приложение площадей, которые, трактуются в I и II книгах Евклида (фр. 136, 137). К Евдему восходит и ряд других свидетельств, сохранившихся у Прокла, Паппа Александрийского ^ги в схолиях; к «Началам» Евклида. Ведь именно Евдем занимался историей математики незадолго до того, как были написаны Евклидовы «Начала» и располагал обширными сведениями, позже утраченными.

К кому, например, может восходить сообщение о том, что пифагорейцы знали следующую теорему: плоскость вокруг точки могут заполнить только следующие правильные многоугольники: шесть треугольников, четыре квадрата и три шестиугольника? Теоремы этой у Евклида нет, а Евдем, живший до него, вполне мог о ней знать. Ему же <мы обязаны и некоторыми другими ценными сведениями, например, о том; что пифагорейцам принадлежит вся IV книга Евклида, рассматривающая отношения правильных. многоугольников. и круга, или о том, что три правильных многогранника (тетраэдр, куб и додекаэдр) построили пифагорейцы, а октаэдр и икосаэдр — Теэтет.