Пифагор и его школа

Чтобы т² удовлетворяло (1) и (2) равенствам, т должно быть нечетным. Отсюда получаем:

m2+(m²-1/2)² = (m²+1/2)²

что отвечает теореме Пифагора. Другой метод определения сторон в прямоугольном треугольнике (начиная с четного числа) был предложен позже Архитом.

Выше мы уже цитировали Ямвлиха, приписывавшего Пифагору открытие дружественных чисел, каждое из которых равно сумме делителей другого, например, 220 и 284. Хотя в целом Ямвлих источник ненадежный, в данном случае у нас как будто нет оснований для сомнений. Сложнее дело обстоит с родственной задачей — совершенными числами, равными сумме собственных делителей:

1+2+3=6 или 1+2+4+7+14=28.

Совершенные числа рассматриваются у Никомаха, который даеъ общее правило их^; отыскания: если сумма членов геометрического ряда будет простым числом, то умножив ее на последний член ряда, — мы получим совершенное число (Intrj I, 16). Доказательство этого правила у Никомаха, как обычно; отсутствует, но оно есть у Евклида (IX, 36), причем непосредственно примыкает к учению о четном и нечетном (IX, 21–34). При некогором изменении оно может быть дано лишь с опорой на предложения 21–34^{103}. Если это доказательство действительно было первоначальным, его можно отнести к самому раннему этапу пифагорейской арифметики.

Рассматривая математические занятия Пифагора, нельзя не заметить в них преобладания арифметической части над геометрической. Едва ли это можно объяснить лишь состоянием наших источников. Так, например, Архит (47 В 4) считал арифметику более строгой, чем геометрия, — это должно указывать на развитость пифагорейской арифметики еще в первой половине V в. до н. э. Диоген Лаэрций со ссылкой на историка конца IV в. до н. э. Антиклида писал, что Пифагор уделял больше всего внимания арифметической стороне геометрии (Д. Л. VIII, 11). Упоминал об этом и Аристотель: «Пифагор занимался математическими дисциплинами, и в частности числами». Тем не менее, очень вероятно, что Пифагору принадлежит еще целый ряд теорем, относящихся к планиметрии первых четырех книг Евклида. Хотя свидетельств об этом не сохранилось, данный нами перечень открытий Пифагора в математике не следует, естественно, рассматривать. как исчерпывающий.

Вместе с тем нас не должна удивлять сравнительная немногочисленность его математических открытий. Греки часто писали о математически окрашенной философии Пифагора, но никогда не рассматривали, его как математика по преимуществу, и прежде всего потому, что он им не был. Среди самых разнообразных областей, в которых проявился его талант — политика, религия, философия и наука, — математика по самой сути вещей не могла занимать ведущее положение. Мы можем предполагать, что уже первые «профессиональные» математики — Гиппократ, Теэтет, Евдокс — занимались наукой систематически и с полной отдачей сил, в то время как для Пифагора не менее важными были его политическая деятельность и религиозно-этическое учение.

Однако, для того чтобы дать сбалансированную оценку роли Пифагора в развитии математики, необходимо рассматривать его в реальной исторической перспективе и сравнивать не с Архитом или Евдоксом, а с его предшественником Фалесом, для которого математика также не была основной сферой приложения интеллектуальных сил. При таком сравнении можно с полным основанием говорить о новом этапе греческой математики, начавшемся с Пифагора.

Основа математической науки — дедуктивный метод— был применен в ней впервые Фалесом, причем прилагался к фактам, истинность которых очевидна. Теорема Пифагора такой наглядностью не обладает и является, следовательно, важным шагом вперед. Неоднократно отмечавшуюся тенденцию раннегреческой математики перенести центр тяжести от наглядности геометрического построения на логическое доказательство следует связывать именно с Пифагором. Об этом в сущности писал уже Евдем, подчеркивая более абстрактный характер геометрии Пифагора по сравнению с Фалесом.

Хотя применительно ко времени Пифагора еще нельзя говорить о сколько-нибудь развитой теории в геометрии, потребность в ней уже явно ощущалась. Она выражалась в формулировании как первых основных аксиом геометрии (они были уже в пифагорейском математическом учебнике)^{104}, так и первых геометрических определений. Согласно традиции, Пифагор первым стал давать определения в математике (Д. Л. VIII, 48).

Если Фалес впервые занялся «угловой» геометрией в отличие от «линейной» геометрии египтян и вавилонян, то Пифагор сделал следующий шаг и положил начало стереометрии, построив правильный тетраэдр и куб.

Помимо геометрии, он распространил дедуктивный метод и на арифметику, создав в ней первые образцы теории чисел: учение о четном и нечетном и теорию фигурных чисел. С них начинается засвидетельствованное Аристоксеном отделение арифметики как отрасли теоретической науки от практического искусства счета. Здесь же, вероятно, было впервые применено доказательство от противного, хотя с таким же успехом оно могло возникнуть и в геометрии.