Почему E=mc²? И почему это должно нас волновать

Что же нам дает концепция причинности с точки зрения понимания пространства-времени и, в частности, определения расстояния в пространстве-времени? Вскоре мы обнаружим, что требование о выполнении принципа причинности ограничивает структуру Вселенной до такой степени, что у нас просто не остается выбора в этом вопросе. Есть только один способ связать воедино пространство и время с одновременным сохранением принципа причинности. Любой другой путь приведет к нарушению этого принципа и позволит совершать такие фантастические действия, как путешествия в прошлое, чтобы предотвратить собственное рождение или, как в случае Нострадамуса, избежать того образа жизни, который спровоцировал развитие подагры.

Но вернемся к разработке концепции расстояния в пространстве-времени. Для начала ненадолго отложим разговор о времени и поразмышляем об идее расстояния в обычном трехмерном пространстве – концепции, с которой все мы хорошо знакомы. Предположим, мы пытаемся измерить расстояние между двумя городами на плоской карте Земли. Как известно каждому, кто летал на большие расстояния и наблюдал за отображением полета на карте на экране в самолете, кратчайшее расстояние между двумя точками на земной поверхности выглядит как кривая линия, которую называют большой круг. На рис. 3 показана карта Земли и линия, соответствующая кратчайшему пути от Манчестера до Нью-Йорка. На глобусе эта линия совершенно очевидна, но на плоской карте тот факт, что кратчайшее расстояние между двумя точками не прямая линия, поначалу кажется удивительным. Дело в том, что поверхность Земли не плоская, а выпуклая. Точнее говоря, Земля – сфера. Изогнутость земной поверхности – также причина того, что на некоторых плоских картах Гренландия выглядит куда больше Австралии, хотя на самом деле все наоборот. Идея ясна: прямые линии представляют кратчайшее расстояние между двумя точками только в плоском пространстве. Геометрию плоского пространства часто называют эвклидовой. Однако Эвклид не знал (как, впрочем, и все остальные до XIX столетия), что его геометрия – всего лишь частный случай семейства различных вариантов геометрии, каждый из которых математически непротиворечив, а некоторые могут использоваться для описания природы. Очень удачный пример – поверхность Земли. Она изогнута, а потому описывается с помощью неэвклидовой геометрии. В частности, в ней кратчайшее расстояние между двумя точками – не эвклидова прямая.

Рис. 3

Есть и другие законы эвклидовой геометрии, которым не подчиняется то, что происходит на поверхности Земли. Например, сумма внутренних углов треугольника больше не равна 180 градусам, а направленные с севера на юг линии, которые параллельны на экваторе, пересекаются на полюсах. Но если эвклидова геометрия больше не используется, то как рассчитать расстояния в искривленном пространстве, например на поверхности Земли? Один из способов – работать непосредственно с глобусом и измерять расстояния с помощью веревки. При этом выполняется корректный учет кривизны Земли. Пилот может натянуть кусок веревки между двумя городами на глобусе, измерить его длину линейкой, а затем вычислить ответ, учитывая отношение размеров глобуса и Земли. Но у нас под рукой может и не быть глобуса, или нам нужно написать компьютерную программу для управления самолетом. В любом случае требуется инструмент получше, чем веревка, так что следует вывести уравнение, показывающее, чему равно расстояние между двумя точками на земной поверхности, если известны только их широта и долгота, а также размеры и форма Земли. Такое уравнение вывести несложно, и если вы немного знакомы с математикой, то можете попробовать сделать это самостоятельно. Нам не нужно записывать здесь это уравнение – главное, что оно существует и имеет мало общего с эвклидовой геометрией плоского пространства. Тем не менее оно позволяет вычислить кратчайшее расстояние между двумя точками на сфере почти так же, как теорема Пифагора дает возможность определить кратчайшее расстояние между двумя точками (гипотенузу) на плоскости, если мы знаем расстояние между точками, измеренное вдоль координатных осей. Поскольку термин «прямая линия» относится к эвклидовой геометрии, введем новый термин для кратчайшего расстояния между двумя точками, применимый независимо от того, о каком пространстве идет речь – плоском или искривленном. Такая линия называется геодезической. К категории геодезических линий относится как большая окружность на поверхности Земли, так и прямая линия на плоскости. То же самое касается и расстояний в трехмерном пространстве. Теперь нам нужно решить, как измерять расстояния в пространстве-времени, так что давайте пойдем дальше и добавим к пространству время.