Почему E=mc²? И почему это должно нас волновать

Давайте примем момент пробуждения в качестве первого события в пространстве-времени. Вторым событием может быть окончание завтрака. Мы уже говорили, что пространственное расстояние между этими событиями составляет 10 метров, а временное – 1 час. Для устранения неоднозначности следует добавить нечто вроде «я измерил расстояние между кроватью и столом с помощью рулетки, протянутой по прямой линии между ними» и «я измерил интервал времени с помощью своих часов, отметив их показания в моменты, когда проснулся и закончил завтракать». Не забывайте: мы уже знаем, что эти два расстояния (в пространстве и времени) не универсальны. Для того, кто летит мимо вашего дома на самолете, ваши часы будут идти медленнее, а расстояния – сокращаться. Наша цель – найти такое расстояние в пространстве-времени, с которым будут согласны все. Вот вопрос на миллион долларов: как взять 10 метров и 1 час и построить из них инвариантное расстояние в пространстве-времени? Нам нужно действовать осмотрительно и, так же как и в случае расстояний на земной поверхности, не исходить из эвклидовой геометрии.

При намерении вычислить расстояние в пространстве-времени у нас сразу же появляется насущная проблема, которую следует решить. Если расстояние в пространстве измеряется в метрах, а во времени – в секундах, то как же мы сможем их объединить? Это все равно что сложить вместе яблоки и апельсины, представляющие собой величины разного типа. Однако можно преобразовать расстояние во время и наоборот, если воспользоваться уравнением, с которым мы уже встречались ранее: v = x/t. С минимальным использованием алгебры мы можем записать время как t = x/v или расстояние как x = vt. Другими словами, расстояние и время могут быть взаимозаменяемы подобно разным денежным единицам, а «обменным курсом» будет служить скорость. Давайте введем такую калибровочную скорость и назовем ее c. Теперь мы можем измерить время в метрах, взяв любой временной интервал и умножив его на калибровочную скорость. На настоящем этапе наших рассуждений скорость c может представлять собой привычную скорость: мы еще ничего не говорили об истинном значении этого показателя. В действительности трюк со взаимозаменяемостью времени и расстояния очень распространен в астрономии, где расстояние до звезд и галактик часто измеряется в световых годах, то есть является расстоянием, которое свет проходит за один земной год. Это не кажется странным только потому, что мы привыкли, но в действительности расстояние измеряется в годах, а год – единица измерения времени. В астрономии калибрующая скорость – скорость света.

Рис. 4

Это уже прогресс: теперь у нас есть время и расстояние, измеряемые в одинаковых единицах. Например, в метрах, километрах, световых годах или еще в каких-то единицах такого рода. На рис. 4 показаны два события в пространстве-времени, обозначенные маленькими крестиками. Суть в том, что нам нужно правило, позволяющее выяснять, насколько далеко друг от друга отстоят события в пространстве-времени. Взгляните на рисунок: нам необходимо узнать длину гипотенузы по длинам двух других сторон. Для более точного описания ситуации обозначим основание треугольника как x, а высоту как ct. Это означает, что два события удалены друг от друга в пространстве и времени. Наша задача – ответить на вопрос: чему равна гипотенуза s, выраженная через x и ct? В приведенном ранее примере x = 10 метров (расстояние от кровати до стола на кухне), а t = 1 час (расстояние во времени). До сих пор значение c было произвольным, так что ct также может быть любым, но не думайте, что мы переливаем из пустого в порожнее. Мы продолжим стоять на своем.