Пока алгебра не разлучит нас

Осталось посмотреть, как изменится третья координата, обозначающая подгруппу клана. Это единственное число, зависящее от формул (I) и (II). В первом случае, то есть при d = 0, все мужчины вступают в брак с женщинами из своей же подгруппы, следовательно, третье число не изменится. Тем не менее, согласно формуле (II), то есть при d = 1, подгруппы меняются, однако это равносильно сложению d с последней координатой. Лемма доказана! Путем аналогичных рассуждений можно определить клан детей в зависимости от клана матери. Докажем:

Лемма 2. Дети женщины клана (х, у, z) принадлежат клану (х + 1, у, х + z + 1).

Теперь, когда мы знаем, как клан женщины определяет разновидность ее брака и как разновидность брака передается от матери к детям, мы можем объединить эти результаты и описать зависимость клана потомков от разновидности брака родителей. Допустим, что дан брак (а, b, с, d). По первой лемме жена принадлежит к клану (а, b + 1, с + d).

Если теперь подставим во вторую лемму х = а, у = b + 1, z = c + d,

то получим, что дети будут принадлежать к клану (а + 1, b + 1, а + с + d + 1).

Имеем:

Лемма 3. Дети от брака разновидности (а, b, с, d) принадлежат к клану (а + 1, b + 1, а + с + d + 1).

ЛЕВИ-СТРОСС: Следовательно, для определения функций f и g нам не хватает одного — правила, описывающего, как выбор формулы (I) или (II) передается по наследству от родителей к детям. Результаты практических исследований показывают, что возможны четыре ситуации:

(1) Дети следуют той же формуле, что и родители.

(2) Дети следуют обратной формуле.

80

(3) Сыновья следуют той же формуле, дочери — обратной.

(4) Дочери следуют той же формуле, сыновья — обратной.

ВЕЙЛЬ: Обозначим каждый из этих случаев двумя индексами (р, q). Если сыновья придерживаются той же формулы, что и родители, то р = 0, в противном случае р = 1; аналогично определяется q для дочерей. Таким образом, четыре упомянутых вами варианта обозначаются (0, 0), (1,1), (0,1) и (1, 0). Обратите внимание, что если брак описывается формулой, которая обозначается координатой d, то сыновья будут следовать правилу d + р, дочери — d + q. Теперь мы можем описать функцию /. Начнем с брака (а, b, с, d). По лемме 3 дети от этого брака принадлежат к клану (а + 1, b + 1, а + с + d + 1). С учетом изложенных выше рассуждений, их формула брака будет равна d 4- р. Следовательно:

f(а, b, с, d) = (а+1, b+1, а + с + d + 1, d + р).

Чтобы определить g, нужно выполнить еще одно действие. Мы знаем, что дочери от брака (а, b, с, d) принадлежат клану (а + 1, b + 1, а + с + d + 1), однако первые три координаты в обозначении брака обозначают не их клан, а их будущего мужа. Следовательно, нужно определить, к какому клану принадлежат мужчины, которые женятся на женщинах из клана (а + 1,b + 1,а + с + d +1)по формуле d + q.

Для этого нам потребуется утверждение, дополняющее лемму 1. Напомню, как звучит эта лемма (сменим обозначения во избежание путаницы):

Лемма 1. В браке разновидности (х, у z, t) жена принадлежит к клану (х, у + 1, z + t).

Мы знаем, что t = d + q, а (х, у + 1, 2 + t) = (а + 1, b + 1, а + с + d + 1), так как к этому клану принадлежит жена. Приравняв координаты, получим систему уравнений:

х = а +1, y + 1 = b + 1, z + d + q = a + c + d + 1,

где мы заменили f на d + q. Первое равенство не требует преобразований, так как значение х известно. Надеюсь, господин Леви-Стросс, что вы не забыли закон сокращения, который я уже объяснял. Если мы применим его к двум последним уравнениям, получим

81

y = b, z + q = a + c + 1.

Мы определили значение у. Чтобы вычислить z, заметим, что в циклической группе ℤ/2 результатом сложения любого элемента с самим собой всегда будет 0, так как 0 + 0 = 1 + 1 = 0. Так, если мы прибавим q к обеим частям равенства, получим z = a + c + q + 1. Таким образом, если женщина из клана

(а + 1, b + 1, а + с + d + 1)

вступает в брак по формуле d + q, ее разновидность брака будет такова:

g(a, b, с, d) = (a+ 1, b, a+ c + q + 1, d + q).

ЛЕВИ-СТРОСС: Теперь я вспомнил, почему мне пришлось обратиться к вам за помощью, господин Вейль.

ВЕЙЛЬ: Следует признать, господин Леви-Стросс, что мне также потребовалось немало времени, чтобы провести эти рассуждения. Важно, что теперь, когда мы определили функции f и g, мы можем автоматически ответить на ваш вопрос о том, как формулы (I) и (II) должны передаваться от родителей к детям, чтобы в следующем поколении мужчина мог жениться на дочери брата своей матери. Мы определили, что это свойство эквивалентно коммутативности композиции f и g. Произведем вычисления. С одной стороны, имеем:

g(f(a, b, с, d))=g(a +1, b + 1, a + c + d + 1, d + p)

= ((a +1) +1, b +1, (a + 1) + (a + c + d + 1)+ q + 1,(d + p) + q)

= (a, b +1, c + d + q + 1, d + p + q),