Пока алгебра не разлучит нас

ВЕЙЛЬ: Обратите внимание, господин Леви-Стросс, что достаточно рассмотреть несократимые общества, поскольку любое племя можно разделить на несколько несократимых сообществ. Это лишь одно из множества проявлений общего принципа, используемого в самых разных областях математики: если какой-либо объект можно разделить на несколько простых, при этом правила разделения известны, то для анализа всех возможных объектов достаточно изучить эти простые объекты. Представим несократимые общества на языке теории групп. Общество является несократимым тогда и только тогда, когда две любые разновидности брака связаны между собой перестановками f и g, то есть если одну из них можно получить из другой посредством этих перестановок. Не будем забывать, что f и g позволяют восстановить все генеалогическое древо! Очевидно, что это свойство в вашем примере не выполняется: применив f и g к М₁ мы можем получить только М₁ и М₂

Тем не менее два первых общества являются несократимыми. Напомним таблицу, которую мы привели в самом начале:

75

Докажем, что на основе брака Мх можно получить все остальные. В самом деле, применив f и g, получим M₃ и M₂ соответственно. Если же мы применим сначала f, а затем g, то получим M₄ в силу равенства g(f(M₁)) = g(M₃) = M₄. Осталось показать, как можно получить М₁. Один из возможных вариантов — дважды применить f, так как f²(M₁) = f(M₃) = М₁. Вот и все! Следовательно, рассматриваемое общество является несократимым.

ЛЕВИ-СТРОСС: Постойте, разве не нужно доказать это же утверждение, взяв за основу M₂, М₃ и M₄ вместо М₁?

ВЕЙЛЬ: На самом деле этого не требуется, и сейчас я объясню, почему. Мы знаем, что из Мх можно вывести все возможные разновидности брака. Допустим, что мы хотим вывести все разновидности брака из какого-либо другого M_i. Обозначим через h элемент подгруппы, порожденной f и g, который позволяет перейти от М₁ к M_i, то есть такой элемент, для которого выполняется условие h(M₁) = M_i.

Так как h принадлежит группе, для него определен обратный элемент h^-1. Припишем h^-1 с двух сторон равенства и получим h^-1(h(M₁)) = h^-1(M_i). Композицией h и h^-1 является тождественное преобразование — вспомните определение обратного элемента! Таким образом, Мх = h^-1(M_i). Это означает, что мы можем получить М₁ из M_i. Так как правило M₁ связано со всеми остальными разновидностями брака, с ними будет связано и любое другое M_i. Подгруппы S_n, обладающие этим свойством, называются транзитивными. Имеем:

Племя, состоящее из n кланов, является несократимым тогда и только тогда, когда подгруппа S_n , порожденная перестановками f и g, является транзитивной.

Объединив это утверждение с предложением 1, получим, что для изучения несократимых обществ, удовлетворяющих трем нашим условиям, необходимо знать: а) какие циклические подгруппы S_n транзитивны и б) какие прямые произведения двух циклических подгрупп S_n транзитивны. Нетрудно видеть, что подгруппа Н

76

группы Sn может быть транзитивной только тогда, когда она содержит по меньшей мере n элементов. Допустим, что эта подгруппа содержит m элементов, где m < n.

Обозначим их через h₁, h₂... h_m. С M₁ будут связаны следующие разновидности брака: h₁(M₁), h₂(M₂) ... h_m(M_m). В лучшем случае все они будут различны, однако этот перечень никогда не будет полным, так как он содержит m элементов, а m меньше n. Применив некоторые другие свойства симметрической группы, найти циклические транзитивные подгруппы S_n несложно, однако давайте остановимся на этом — иначе мы никогда не закончим наш разговор о браках!

Племя мурнгин

ЛЕВИ-СТРОСС: Хотя ваши объяснения по сути намного лучше тех, что преддожили первые антропологи, во всех рассмотренных нами примерах они смогли решить поставленную задачу явным перебором всех возможных сочетаний. Теория групп абсолютно необходима тогда, когда число кланов по-настоящему велико или же когда в правилах заключения браков экзогамия сочетается с эндогамией.

Я понял это, едва начав изучать племя аборигенов мурнгин, живущих на севере Австралии, в Арнем-Ленде. Незадолго до того как я начал работу над докторской, один из крупнейших специалистов по австралийским аборигенам Адольфус Петер Элкин указал, что исключительно формальный анализ систем родства у аборигенов не имеет смысла, поскольку никак не помогает узнать обычаи племени.