Пока алгебра не разлучит нас

В прошлый раз я привел несколько примеров групп: мы подробно рассмотрели симметрическую группу Sy которая представляла собой группу преобразований, оставляющих равносторонний треугольник инвариантным, а также группу перестановок множества из трех элементов. Мы также поговорили о циклических группах ℤ/n — их элементами являются натуральные числа, меньшие n, а групповой операцией — та же видоизмененная операция сложения, которую мы выполняем, когда смотрим на циферблат часов, разделенный на n делений.

Тогда вы могли бы спросить меня: как определять новые группы на основе известных примеров? Сейчас я опишу один из возможных способов. Допустим, что даны две группы, G и Н. Так как соответствующие групповые операции необязательно совпадают, обозначим групповую операцию первой группы знаком *, групповую операцию второй группы — знаком ·. Множество, на котором будет определена новая группа (обозначим ее G × H), будет образовано парами (g, h), где g — элемент G, h — элемент Н:

G × H = {(g,h): g ∈ G, h ∈ Н}.

Осталось определить групповую операцию. Для этого применим групповые операции G и Н к соответствующим элементам пар. Следовательно, результат операции над (g₁, h₁) и (g₂, h₂) будет равен (g₁ * g₂, h₁ · h₂). Нетрудно видеть, что эта операция удовлетворяет трем условиям определения группы. Доказательство я оставлю вам в качестве упражнения. Мы получили новую группу, которую будем называть прямым произведением G и Н.

Вычислим в качестве примера прямое произведение циклической группы второго порядка на саму себя. Как известно, элементы ℤ/2 равны [0] и [1], а операции над ними выполняются по следующим правилам:

[0] + [0] = [0], [0] + [1] = [1],[1] + [0] = [1] и [1] + [1] = [0].

Так, прямое произведение ℤ/2 х ℤ/2 будет образовано следующими парами:

([0], [0]), ([0], [1]), ([1], [0]) и ([1], [1]).

Первая из этих пар — нейтральный элемент. Обозначим ее через е. Если мы обозначим остальные пары через а = ([0], [1]), b = ([1], [0]) и с = ([1], [1]), то таблица группы примет вид

70

Это группа Клейна, названная в честь немецкого математика Феликса Клейна (1849—1925), который впервые описал ее в 1884 году в своих «Лекциях об икосаэдре и решении уравнений пятой степени» при изучении преобразований плоскости, оставляющих ромб инвариантным. Обратите внимание, что она содержит всего четыре элемента, а группа треугольника — шесть. Это логично, поскольку группы в некотором смысле характеризуют симметрию, а ромб менее симметричен, чем треугольник!

Гэуппа преобразований, оставляющих ромб неизменным.

Порядок всех элементов группы Клейна равен двум, поэтому на диагонали таблицы умножения записаны только нейтральные элементы. Между прочим, можно доказать, что единственные группы четвертого порядка — это циклическая группа ℤ/4 и группа Клейна.

Они отличаются между собой тем, что одна из них содержит элементы четвертого порядка, другая — нет.

ЛЕВИ-СТРОСС: Я понимаю, о чем вы говорите, господин Вейль, но складывается впечатление, что мы отошли от темы: какое отношение все это имеет к браку?

71

ВЕЙЛЬ: Наберитесь терпения! Я уже говорил, что в обществе, которое удовлетворяет двум нашим условиям, описание структуры родства сводится к описанию разновидностей брака M_i и функций f и g. Введем третье условие, которое описывает запреты инцеста и, по всей видимости, выполняется в некоторых племенах, о которых вы писали в «Элементарных структурах родства»:

Условие 3: Допускается брак между любым мужчиной и дочерью брата его матери.

Это условие означает коммутативность композиции f и g. Следовательно, чтобы изучить все возможные модели обществ, которые удовлетворяют нашим трем условиям, нам нужно как-то классифицировать абелевы подгруппы симметрической группы, порожденные двумя элементами. Посмотрим, как выглядят эти подгруппы:

Обозначим через Н группу, порожденную f и g. Первый возможный случай таков: один из двух элементов можно получить, возведя другой в определенную степень. В этом случае включать такой элемент в число порождающих элементов группы Н не требуется: его можно получить из другого элемента. Таким образом, имеем подгруппу, порожденную единственным элементом, то есть циклическую группу.

Предположим, что это не так, то есть f и g не зависят друг от друга. По определению, элементами Н будут все возможные цепочки операций над f и g, к примеру:

f * g * g * f * g

Порядок следования элементов будет произвольным, но так как мы предположили, что композиция f и g коммутативна, мы можем воспользоваться свойством ассоциативности, применить равенство f*g = g*f и попарно объединить элементы так, что все f и все g будут расположены рядом. Пример:

f*g*g*f*g=f*g*(g*f)*g=f*g*(f*g)*g=f*(g*f)*g*g=f*(f*g)*g*g=f²*g³