Пока алгебра не разлучит нас

Так как этот метод корректен для любого элемента H, мы доказали, что любой элемент Н можно записать в виде fⁿ * g^m, где n и m — неотрицательные целые натуральные числа (они могут равняться нулю). Как правило, из соображений удобства указывают, что и fⁿ, и g^m — нейтральные элементы. Таким образом, когда верхний индекс одного члена обнуляется, результат операции равен степени другого члена.

Вместо fⁿ * g^m мы могли бы записать (fⁿ, g^m), при этом в структуре Н не произошло бы каких-то существенных изменений. Эта операция очень похожа на произведение двух циклических групп, однако члены fⁿ * g^m могут повторяться, даже если

72

порядок f и g будет больше, чем n и m соответственно. Чтобы показать, что Н — это произведение двух циклических групп[6], нужно выполнить еще несколько действий:

Предложение 1. Конечная абелева группа, порожденная двумя элементами, является либо циклической, либо прямым произведением двух циклических групп.

Это предложение — частный случай теоремы о структуре конечнопорожденных абелевых групп, по которой такие группы изоморфны прямому произведению

ℤ × ... × ℤ × ℤ/n₁ × ... × ℤ/n_k

где ℤ — группа целых чисел, a ℤ/n₁ ..., ℤ/n_k — циклические группы. Число копий ℤ, приведенных в произведении, называется рангом группы и отлично от нуля тогда и только тогда, когда группа является бесконечной.

ЛЕВИ-СТРОСС: Теперь рассмотрим наш пример. В нотации, которую вы объяснили в прошлый раз, перестановки f и g записываются так:

Переставим их двумя возможными способами:

Как видите, их композиция коммутативна, следовательно, в нашей структуре с обобщенным обменом любой мужчина может жениться на дочери брата своей матери.

ВЕЙЛЬ: Так как подгруппа S4, порожденная f и g, является абелевой, она будет либо циклической, либо прямым произведением двух циклических групп. В этом случае расчет

73

показывает, что перестановка f определяется как сочетание g с самой собой (/ =

= g2). Следовательно, мы имеем дело с первой из возможных ситуаций. Быть может, так будет всегда? Вовсе нет: составим пример, в котором подгруппа, порожденная f и g, будет прямым произведением двух циклических групп. Предположим, что допустимы следующие разновидности брака:

(Mt) мужчина А и женщина D

(M₂) мужчина В и женщина С

(M₃) мужчина С и женщина В

(M₄) мужчина D и женщина А

В этом случае кланы А и D, равно как и В и С, обменялись женщинами, следовательно, мы имеем дело с ограниченным обменом. Предположим, что дети матерей из кланов А, В, С и D принадлежат к кланам В, A, D и С соответственно. Мы можем определить функции f и g прежним образом:

Обратите внимание, что f — та же перестановка, что и в предыдущем примере, а перестановка g изменилась. Но и в этом случае их композиция коммутативна: 11

Отличие от предыдущего примера заключается в том, что теперь и f, и g являются элементами второго порядка (убедитесь в этом), следовательно, ни один из них не может быть степенью другого. Следовательно, подгруппа, порожденная f и g, будет произведением двух циклических групп. Более того, это будет группа Клейна!

ЛЕВИ-СТРОСС: Еще один вопрос, который интересует нас, этнологов, при изучении браков, звучит так: можно ли найти группы людей, которые не связаны

74

отношениями родства между собой? Общество, в котором можно выделить такие группы, называется сократимым. Допустим, что в элементарном племени, состоящем из четырех кланов, ограниченный обмен проводится по следующим правилам:

(Mt) мужчина А и женщина В

(M₂) мужчина В и женщина А

(M₃) мужчина С и женщина D

(M₄) мужчина D и женщина С

Дети принадлежат к тем же кланам, что и их матери. Функции f и g вычисляются как и обычно, однако будет не лишним напомнить, как именно это делается. В браке М₁ жена принадлежит к клану В, следовательно, к этому же клану будут принадлежать и ее дети. Мужчина из клана В вступает в брак по правилу M₂, поэтому f(M₁) = M₂ a g(M₁) = M₁ так как женщины из клана В подчиняются первому правилу. Получим таблицу

Очевидно, что кланы А и В никогда не породнятся с кланами С и D. Следовательно, рассматриваемое общество является сократимым. В противном случае общество называется несократимым.