Пока алгебра не разлучит нас

Определение. Гомоморфизм ф: G → Н называют изоморфизмом групп, если выполняются следующие условия.

(1) Инъективность. Если а и b — два различных элемента G, то φ(а) и φ(b) — два различных элемента Н.

(2) Сюръективность. Каждый элемент Н является отображением некоторого элемента G, то есть для любого h группы Н существует такой элемент g группы G, что р(g) = h.

В силу свойств гомоморфизма нетрудно видеть, что инъективность эквивалентна другому условию, которое проще проверить на практике.

(1') Единственный элемент G, который отображение φ преобразует в нейтральный элемент Н, это нейтральный элемент G. Иными словами, если φ(g) = e_H, то g = e_G.

В самом деле, предположим, что выполняется условие (1) и что φ(g) = e_H. Так как р — гомоморфизм, мы знаем, что ф(e_G) = е_H, следовательно g обязательно должен совпадать с e_G — в противном случае два различных элемента будут иметь одинаковые отображения. Посмотрим, что произойдет, когда выполняется свойство

128

(1'). Пусть a и b — два элемента С такие, что φ(а) = φ(b). Мы хотим доказать, что а = b. Сначала применим закон сокращения (см. стр. 58) и перепишем равенство в виде φ(а) *φ(b)^-1 = е_H. Так как φ — гомоморфизм, ф(b)^-1 совпадает с φ(b^-1) и φ(а) · φ(^-1) = φ(а * b^-1). Следовательно, φ(а * b^-1) = e_H и из (1') следует, что а * b^-1= e_G. Умножив обе части на b, получим, что а = b.

В ходе доказательства полезно отметить: чтобы показать, что данный гомоморфизм двух конечных групп одного и того же порядка (то есть для групп с одинаковым числом элементов) — это изоморфизм, достаточно проверить, что выполняется всего одно из двух свойств (инъективность или сюръективность), и второе будет выполняться автоматически (докажите это утверждение самостоятельно).

Также упомянем следующее предложение.

Предложение. Гомоморфизм ф: С → Н является изоморфизмом тогда и только тогда, когда существует другой гомоморфизм ψ: G → Н такой, что результатом последовательного применения φ и ψ является тождественное преобразование на группе G (то есть преобразование, которое оставляет все элементы С неизменными); это же верно для композиции φ и ψ на группе Н.

Для данного φ функция ψ определяется как функция, которая каждому элементу h группы Н ставит в соответствие единственный элемент g группы G такой, что φ(g) = h.

Две группы G и Н называются изоморфными, если между ними существует изоморфизм (обозначается G ≃ Н).

Теперь мы можем доказать теорему о структуре групп. Пусть G — конечная абелева группа, порожденная двумя элементами. Наша задача — определить изоморфизм между G и циклической группой либо прямым произведением двух циклических групп. Вначале мы покажем: всегда можно выбрать два порождающих элемента так, что порядок одного из них будет делителем порядка другого.

Как выбрать порождающие элементы

Начнем с леммы о циклических группах, порядок которых равен произведению двух взаимно простых чисел. Далее для простоты в нижнем индексе нейтральных элементов мы не будем указывать группу, к которой они принадлежат, а элементы, над которыми выполняется операция *, будем просто записывать рядом друг с другом.

129

Лемма 1. Допустим, что порядок элемента а можно записать как n — mr, где m и r — взаимно простые числа. Тогда группа <а> изоморфна прямому произведению циклических групп <а^m> и <а'>, которые имеют порядок r и m соответственно.

Так как m и r взаимно простые, по соотношению Безу (см. стр. 91) обязательно существуют два целых числа u и v такие, что um + vr = 1. Определим отображение

φ:→ <а^m> × ,

которое ставит в соответствие элементу а группы <а> пару ((a^m)^ui,(a^r)^vi). Так как а имеет порядок n, получим, что аⁱ = а^i+kn для любого целого k. Первое, что нужно доказать — отображения φ для аⁱ и а^i+kn совпадают. Для этого заметим, что

(a^m)^u(i+kn) = (a^m)^ui(aⁿ)^ukm = (a^m)^uie^ukm = (a^m)^ui