Пока алгебра не разлучит нас

так как аⁿ = е. Это же верно и для второй составляющей. Следовательно, можно заключить: φ(аⁱ) = φ(а^i+kn). Отображение определено полностью. Теперь покажем, что это отображение является гомоморфизмом групп. Условие φ(е) = е не представляет никаких затруднений: подставив i = 0 в расчетную формулу φ, получим

φ(e) = φ(a⁰) = ((a^m)⁰, (a^r)⁰) = (e, e) = e.

Рассмотрим второе условие:

φ(aⁱa^j) = φ(a^i+j) = ((a^m)^u(i+j), (a^r)^u(i+j)) = ((a^m)^ui(a^m)^uj, (a^r)^vi(a^r)^vj) = ((a^m)^ui(a^r)^vi, (a^m)^ui(a^r)^vi) = φ(aⁱ) φ(a^j),

так как в прямом произведении двух групп все действия выполняются почленно (см. стр. 70). Это доказывает, что φ — гомоморфизм. Докажем, что φ — изоморфизм.

Для этого заметим, что <а> и <а^m> х <а^r> — группы одного порядка. В самом деле, элементы а^m и а^r имеют порядок r и m соответственно, так как

(а^m)^r = (а^r)^m == a^mr = aⁿ

а элемент а имеет порядок n по условию. Следовательно, порядок <а^m> х <а^r> равен произведению r и m, то есть n, и равен порядку <а>.

130

С учетом этого достаточно доказать, что φ обладает инъективностью, то есть из φ(аⁱ) = е следует аⁱ = е. Если φ(аⁱ) — нейтральный элемент, то а^mui = а^rvi = е. Это означает, что n является делителем mui и rvi, следовательно, n также будет делителем суммы этих чисел. Но по соотношению Безу имеем mui + rvi = (mu + rv)i = i. Следовательно, n является делителем i, что равносильно аⁱ = е, следовательно, отображение φ является инъективным. Лемма доказана.

Обратите внимание, что верно и обратное: если r и m — взаимно простые числа, то прямое произведение двух циклических групп порядка r и m изоморфно циклической группе порядка гш, так как лемма устанавливает изоморфизм между ℤ/r х ℤ/m и ℤ/rm. Теперь посмотрим, как можно использовать эту лемму для выбора порождающих элементов G таким образом, чтобы порядок одного из них был делителем порядка другого. Выберем два порождающих элемента а и b произвольным образом.

Напомним: так как G коммутативная группа, все ее элементы можно представить в виде aⁱbⁱ, где i и j — целые числа, которые удовлетворяют условию 0 < i < порядок (а) и 0< j < порядок (b) (см. стр. 72).

Это же условие можно выразить другим, более сложным способом: функция <а> × → G, которая ставит в соответствие пару (аⁱ, bⁱ) элементу aⁱbⁱ группы G, является сюръективной. Разумеется, основная сложность заключается в том, что нет никакой причины, по которой эта функция также должна быть инъективной.

Следовательно, запись аⁱbⁱ может быть не единственной, и если мы рассмотрим все члены аⁱbⁱ, то некоторые элементы G будут учтены более одного раза. Об этой проблеме мы поговорим чуть позже.

Рассмотрим порядок а и b. По основной теореме арифметики (стр. 89) оба этих числа можно разложить на простые множители. Разделим эти множители на две группы в зависимости от того, являются ли они одновременно делителями порядков а и b или нет. Чтобы читатель смог лучше понять рассуждения, ограничимся тем, что рассмотрим следующую ситуацию: существует единственное простое число р, которое одновременно является делителем порядков а и b (в общем случае рассуждения будут аналогичными, но все обозначения будут содержать верхние индексы, что затруднит чтение).

Выберем наибольшие степени р и запишем порядок (а) = р^em, порядок (b) = р^fn, где e и f — два положительных целых числа. Также предположим, что е < f. Обратите внимание, что m и n взаимно простые: если бы они имели общий простой делитель, он также был бы делителем порядков а и b, следовательно, был бы равен р. Это же верно для р^e и m, а также для р^f и n.

Применив лемму к циклическим группам, порожденным а и b, получим изоморфизмы ≃m> × p^r> и ≃n> × p^t>. Следовательно:

× ≃ m> × p^e> × n> × p^f>. (*)

131

Рассмотрим три последних множителя, которые имеют порядок m, p^f и n соответственно. Так как m и p^f взаимно простые, из леммы следует, что прямое произведение p^r> × n> изоморфно циклической группе порядка p^fm. Так как n и p^fm также взаимно простые, мы можем вновь применить эту лемму и показать, что произведение трех множителей изоморфно циклической группе <х> порядка p^fmn.

Примем у = а^m. Порядок этого элемента равен р^e. Из формулы (*) следует, что прямые произведения <а> и <х> <у> изоморфны, следовательно, существует сюръективное отображение <х> <у> на G. Иными словами, х и у порождают G.